Номер 5, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 5. Элементы прикладной математики - номер 5, страница 67.

Условие.

5. Два экскаватора, работая вместе, могут вырыть котлован за 12 ч. Если сначала первый экскаватор выполнит$ \frac{1}{3} $ всей работы, а потом второй экскаватор — оставшуюся часть работы, то котлован будет вырыт за 30 ч. За сколько часов может вырыть котлован каждый экскаватор, работая самостоятельно?

Решение.

Решение

Пусть $t_1$ — время в часах, за которое первый экскаватор может вырыть котлован, работая самостоятельно, а $t_2$ — время, за которое ту же работу выполнит второй экскаватор.

Тогда производительность первого экскаватора составляет $\frac{1}{t_1}$ часть котлована в час, а производительность второго — $\frac{1}{t_2}$ часть котлована в час.

Из первого условия задачи известно, что, работая вместе, они выполняют всю работу (примем ее за 1) за 12 часов. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей. Составим первое уравнение:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12}$

Из второго условия известно, что если первый экскаватор выполнит $\frac{1}{3}$ всей работы, а второй — оставшуюся часть, то есть $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ работы, то на это уйдет 30 часов. Время, которое потратит первый экскаватор, равно $\frac{\text{объем работы}}{\text{производительность}} = \frac{1/3}{1/t_1} = \frac{t_1}{3}$ часов. Время, которое потратит второй, равно $\frac{2/3}{1/t_2} = \frac{2t_2}{3}$ часов. Суммарное время равно 30 часам. Составим второе уравнение:

$\frac{t_1}{3} + \frac{2t_2}{3} = 30$

Умножим обе части второго уравнения на 3 для упрощения:

$t_1 + 2t_2 = 90$

Получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12} \\ t_1 + 2t_2 = 90 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $t_1$ через $t_2$:

$t_1 = 90 - 2t_2$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$\frac{1}{90 - 2t_2} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{t_2 + (90 - 2t_2)}{t_2(90 - 2t_2)} = \frac{1}{12}$

$\frac{90 - t_2}{90t_2 - 2t_2^2} = \frac{1}{12}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$12(90 - t_2) = 1(90t_2 - 2t_2^2)$

$1080 - 12t_2 = 90t_2 - 2t_2^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2t_2^2 - 90t_2 - 12t_2 + 1080 = 0$

$2t_2^2 - 102t_2 + 1080 = 0$

Разделим обе части на 2:

$t_2^2 - 51t_2 + 540 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-51)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 540 = 2601 - 2160 = 441$

$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$

Найдем два возможных значения для $t_2$:

$t_{2,1} = \frac{-(-51) + 21}{2 \cdot 1} = \frac{51 + 21}{2} = \frac{72}{2} = 36$

$t_{2,2} = \frac{-(-51) - 21}{2 \cdot 1} = \frac{51 - 21}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Теперь найдем соответствующие значения $t_1$ для каждого из случаев, используя выражение $t_1 = 90 - 2t_2$.

1. Если $t_2 = 36$ часов.

$t_1 = 90 - 2 \cdot 36 = 90 - 72 = 18$ часов.

Таким образом, один из возможных ответов: первый экскаватор выроет котлован за 18 часов, а второй — за 36 часов.

2. Если $t_2 = 15$ часов.

$t_1 = 90 - 2 \cdot 15 = 90 - 30 = 60$ часов.

Таким образом, второй возможный ответ: первый экскаватор выроет котлован за 60 часов, а второй — за 15 часов.

Оба набора решений удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: Первый экскаватор может вырыть котлован за 18 часов, а второй за 36 часов, либо первый экскаватор за 60 часов, а второй за 15 часов.