Номер 5, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей - номер 5, страница 68.

Условие.

5. В 9 «А» классе учится 25 человек, а в 9 «Б» – 28 человек. Сколько существует способов сформировать команду из 10 человек для участия в соревнованиях по лёгкой атлетике, если из каждого класса нужно выбрать по 5 человек?

Решение.

Для решения этой задачи необходимо определить количество способов выбора 5 учеников из класса 9«А» и количество способов выбора 5 учеников из класса 9«Б». Так как порядок выбора учеников для команды не имеет значения, мы будем использовать формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.

1. Вычисление количества способов выбора учеников из 9«А» класса.
В классе 9«А» учится 25 человек, из которых нужно выбрать 5.
Подставляем значения в формулу: $n = 25$, $k = 5$.
$C_{25}^5 = \frac{25!}{5!(25-5)!} = \frac{25!}{5!20!} = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 53130$ способов.

2. Вычисление количества способов выбора учеников из 9«Б» класса.
В классе 9«Б» учится 28 человек, из которых также нужно выбрать 5.
Подставляем значения в формулу: $n = 28$, $k = 5$.
$C_{28}^5 = \frac{28!}{5!(28-5)!} = \frac{28!}{5!23!} = \frac{28 \times 27 \times 26 \times 25 \times 24}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 98280$ способов.

3. Вычисление общего количества способов формирования команды.
Поскольку выбор учеников из одного класса является независимым событием от выбора учеников из другого класса, общее количество способов формирования команды находится по правилу произведения в комбинаторике. Для этого нужно перемножить количество способов для каждого класса.
$N_{общ} = C_{25}^5 \times C_{28}^5 = 53130 \times 98280 = 5221940400$.

Ответ: 5221940400