Номер 5, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 7. Числовые последовательности - номер 5, страница 69.

Условие.

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 6, которые больше 100 и меньше 200.

Решение.

Нам необходимо найти сумму натуральных чисел, которые делятся на 6 и находятся в промежутке (100; 200). Эти числа образуют конечную арифметическую прогрессию, разность которой $d=6$.

1. Найдем первый член прогрессии ($a_1$).

Это должно быть наименьшее натуральное число, большее 100, которое делится на 6.
Разделим 100 на 6: $100 / 6 = 16$ и остаток 4.
Следовательно, ближайшее к 100 число, кратное 6, можно найти, умножив 17 на 6:
$a_1 = 17 \times 6 = 102$.

2. Найдем последний член прогрессии ($a_n$).

Это должно быть наибольшее натуральное число, меньшее 200, которое делится на 6.
Разделим 200 на 6: $200 / 6 = 33$ и остаток 2.
Следовательно, наибольшее число, кратное 6 и меньшее 200, это:
$a_n = 33 \times 6 = 198$.

3. Найдем количество членов прогрессии ($n$).

Воспользуемся формулой для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения:
$198 = 102 + (n-1) \times 6$
$198 - 102 = 6(n-1)$
$96 = 6(n-1)$
$n-1 = 96 / 6$
$n-1 = 16$
$n = 17$

4. Найдем сумму прогрессии ($S_n$).

Используем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \times n}{2}$.
Подставим найденные значения:
$S_{17} = \frac{(102 + 198) \times 17}{2}$
$S_{17} = \frac{300 \times 17}{2}$
$S_{17} = 150 \times 17$
$S_{17} = 2550$

Ответ: 2550