Номер 7, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 7. Числовые последовательности - номер 7, страница 69.

Условие.

7. Найдите сумму

$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{11}} + \frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{16}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{116} + \sqrt{121}}.$

Решение.

Для нахождения суммы преобразуем каждое слагаемое, избавившись от иррациональности в знаменателе. Общий вид слагаемого в данной сумме — $ \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+5}} $. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{k+5} - \sqrt{k} $:

$ \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+5}} = \frac{\sqrt{k+5} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k+5} + \sqrt{k})(\sqrt{k+5} - \sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+5} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k+5})^2 - (\sqrt{k})^2} = \frac{\sqrt{k+5} - \sqrt{k}}{k+5-k} = \frac{\sqrt{k+5} - \sqrt{k}}{5} $

Теперь применим это преобразование к каждому слагаемому исходной суммы. Обозначим искомую сумму за S:

$ S = \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{11}} + \frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{16}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{116}+\sqrt{121}} $

Подставляя преобразованные дроби, получаем:

$ S = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{1}}{5} + \frac{\sqrt{11}-\sqrt{6}}{5} + \frac{\sqrt{16}-\sqrt{11}}{5} + \dots + \frac{\sqrt{121}-\sqrt{116}}{5} $

Вынесем общий множитель $ \frac{1}{5} $ за скобки:

$ S = \frac{1}{5} \left( (\sqrt{6}-\sqrt{1}) + (\sqrt{11}-\sqrt{6}) + (\sqrt{16}-\sqrt{11}) + \dots + (\sqrt{121}-\sqrt{116}) \right) $

Внутри скобок большинство слагаемых взаимно уничтожаются (такая сумма называется телескопической): $ \sqrt{6} $ сокращается с $ -\sqrt{6} $, $ \sqrt{11} $ с $ -\sqrt{11} $ и так далее. После всех сокращений останутся только первый и последний члены:

$ S = \frac{1}{5} (-\sqrt{1} + \sqrt{121}) $

Вычислим результат:

$ S = \frac{1}{5} (-1 + 11) = \frac{1}{5} \cdot 10 = 2 $

Ответ: 2