Номер 6, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 7. Числовые последовательности - номер 6, страница 69.

Условие.

6. Последовательность задана рекуррентно: $a_1 = 4$, $a_2 = 10$, $a_{n+2} = 4a_{n+1} - 3a_n$. Докажите, что $a_n = 3^n + 1$.

Решение.

Для доказательства того, что формула $a_n = 3^n + 1$ является решением для последовательности, заданной рекуррентно $a_1 = 4$, $a_2 = 10$ и $a_{n+2} = 4a_{n+1} - 3a_n$, воспользуемся методом математической индукции.

База индукции

Проверим, выполняется ли формула для первых двух членов последовательности, $n=1$ и $n=2$, которые заданы в условии.

Для $n=1$:

По условию имеем $a_1 = 4$.

Согласно предложенной формуле, $a_1 = 3^1 + 1 = 3 + 1 = 4$.

Значения совпадают, следовательно, формула верна для $n=1$.

Для $n=2$:

По условию имеем $a_2 = 10$.

Согласно предложенной формуле, $a_2 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$.

Значения совпадают, следовательно, формула верна для $n=2$.

База индукции подтверждена.

Шаг индукции

Предположим, что формула верна для всех натуральных чисел от 1 до $k+1$ включительно, где $k \ge 1$. В частности, предположим, что формула верна для $n=k$ и $n=k+1$:

$a_k = 3^k + 1$

$a_{k+1} = 3^{k+1} + 1$

Теперь докажем, что из этого предположения следует справедливость формулы и для следующего члена последовательности, т.е. для $n=k+2$. Нам нужно показать, что $a_{k+2} = 3^{k+2} + 1$.

Используем рекуррентное соотношение, данное в условии: $a_{n+2} = 4a_{n+1} - 3a_n$.

Подставим в него $n=k$:

$a_{k+2} = 4a_{k+1} - 3a_k$

Теперь заменим $a_{k+1}$ и $a_k$ выражениями из нашего индукционного предположения:

$a_{k+2} = 4(3^{k+1} + 1) - 3(3^k + 1)$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$a_{k+2} = 4 \cdot 3^{k+1} + 4 - 3 \cdot 3^k - 3$

Учитывая, что $3 \cdot 3^k = 3^{k+1}$, получим:

$a_{k+2} = 4 \cdot 3^{k+1} - 3^{k+1} + 4 - 3$

$a_{k+2} = (4-1) \cdot 3^{k+1} + 1$

$a_{k+2} = 3 \cdot 3^{k+1} + 1$

$a_{k+2} = 3^{k+2} + 1$

Мы получили в точности то выражение, которое требовалось доказать. Таким образом, шаг индукции выполнен.

Заключение

Поскольку база индукции верна (формула выполняется для $n=1$ и $n=2$) и индукционный переход доказан (из верности формулы для $n=k$ и $n=k+1$ следует ее верность для $n=k+2$), то по принципу полной математической индукции формула $a_n = 3^n + 1$ верна для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Утверждение, что $a_n = 3^n + 1$, доказано.