Номер 2, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 8. Итоговая - номер 2, страница 70.

Условие.

2. Решите неравенство $\frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 - 5x + 6} \le 0$.

Решение.

Для решения данного рационального неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни числителя и знаменателя.

1. Нахождение корней числителя

Приравняем числитель к нулю, чтобы найти точки, в которых выражение может быть равно нулю.

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $3$. Легко подобрать корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, числитель равен нулю при $x = -3$ и $x = -1$.

2. Нахождение корней знаменателя и области допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, чтобы исключить их из решения.

$x^2 - 5x + 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а произведение равно $6$. Корни уравнения: $x_3 = 2$ и $x_4 = 3$.

Следовательно, область допустимых значений (ОДЗ) неравенства: $x \ne 2$ и $x \ne 3$.

3. Применение метода интервалов

Разложим числитель и знаменатель на множители, используя найденные корни:

$\frac{(x - (-3))(x - (-1))}{(x - 2)(x - 3)} \le 0$

$\frac{(x + 3)(x + 1)}{(x - 2)(x - 3)} \le 0$

Теперь отметим все найденные корни на числовой оси: -3, -1, 2, 3.

Точки, в которых числитель равен нулю ($x = -3$ и $x = -1$), включаются в решение, так как неравенство нестрогое ($\le$). На оси они обозначаются закрашенными точками.

Точки, в которых знаменатель равен нулю ($x = 2$ и $x = 3$), исключаются из решения (согласно ОДЗ). На оси они обозначаются выколотыми (пустыми) точками.

Эти точки разбивают числовую ось на пять интервалов: $(-\infty; -3]$, $[-3; -1]$, $[-1; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Определим знак левой части неравенства в каждом из этих интервалов. Для этого можно взять любую точку из самого правого интервала, например $x = 10$, и подставить в выражение:

$\frac{(10 + 3)(10 + 1)}{(10 - 2)(10 - 3)} = \frac{13 \cdot 11}{8 \cdot 7} > 0$

Знак в крайнем правом интервале — «+». Поскольку все корни имеют нечетную (первую) степень, знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Расставим знаки на числовой оси, двигаясь справа налево: +, -, +, -, +.

4. Формирование ответа

Согласно условию неравенства $\le 0$, нас интересуют интервалы, где выражение отрицательно или равно нулю. Это интервалы со знаком «-».

Из анализа числовой оси следует, что это промежутки $[-3; -1]$ и $(2; 3)$.

Объединение этих промежутков и является решением неравенства.

Ответ: $x \in [-3; -1] \cup (2; 3)$.