Номер 1, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 1. Квадратичная функция - номер 1, страница 71.

Условие.

1. Найдите область определения функции

$f(x) = \sqrt{3-7x} + \frac{1}{x^2-2x-15}$

Решение.

Область определения функции $f(x) = \sqrt{3-7x} + \frac{1}{x^2-2x-15}$ — это множество всех значений $x$, при которых выражение для $f(x)$ имеет смысл. Функция представляет собой сумму двух слагаемых, поэтому для нахождения ее области определения необходимо, чтобы оба слагаемых были определены. Найдем условия, при которых определено каждое из них.

1. Первое слагаемое $\sqrt{3-7x}$ является квадратным корнем. Квадратный корень определен только для неотрицательных чисел. Следовательно, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю:

$3 - 7x \ge 0$

Решим это линейное неравенство относительно $x$:

$-7x \ge -3$

Разделим обе части неравенства на -7. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-3}{-7}$

$x \le \frac{3}{7}$

Таким образом, первое слагаемое определено при $x \in (-\infty; \frac{3}{7}]$.

2. Второе слагаемое $\frac{1}{x^2-2x-15}$ является дробью. Дробь определена, когда ее знаменатель не равен нулю:

$x^2 - 2x - 15 \ne 0$

Чтобы найти значения $x$, которые нужно исключить, решим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 15 = 0$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Значит, знаменатель обращается в ноль при $x = 5$ и $x = -3$. Эти значения необходимо исключить из области определения.

3. Общая область определения функции является пересечением множеств, удовлетворяющих обоим условиям. Составим систему:

$\begin{cases} x \le \frac{3}{7} \\ x \ne 5 \\ x \ne -3 \end{cases}$

Рассмотрим эти условия совместно. Первое условие задает промежуток $(-\infty; \frac{3}{7}]$.

Теперь из этого промежутка нужно исключить точки 5 и -3.

Значение $x = 5$ не входит в промежуток $(-\infty; \frac{3}{7}]$, так как $5 > \frac{3}{7}$ (примерно $5 > 0.43$). Поэтому условие $x \ne 5$ для данного промежутка выполняется автоматически.

Значение $x = -3$ входит в промежуток $(-\infty; \frac{3}{7}]$, так как $-3 < \frac{3}{7}$. Следовательно, эту точку нужно исключить.

Исключая точку -3 из промежутка $(-\infty; \frac{3}{7}]$, мы получаем объединение двух интервалов: $(-\infty; -3) \cup (-3; \frac{3}{7}]$.

Это и есть искомая область определения функции.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; \frac{3}{7}]$