Номер 7, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 1. Квадратичная функция - номер 7, страница 71.

Условие.

7. Найдите наименьшее значение функции

$f(x) = (x^2 - 2x)^2 + 6(x^2 - 2x) + 10.$

Решение.

Для нахождения наименьшего значения функции $f(x) = (x^2 - 2x)^2 + 6(x^2 - 2x) + 10$ удобно использовать метод замены переменной. Заметим, что выражение $x^2 - 2x$ встречается в формуле дважды.

Введем новую переменную $t$, равную этому выражению: $t = x^2 - 2x$.

После замены исходная функция $f(x)$ превращается в функцию от переменной $t$:

$g(t) = t^2 + 6t + 10$.

Теперь задача состоит в том, чтобы найти наименьшее значение функции $g(t)$. Однако переменная $t$ не может принимать любые действительные значения, её область значений ограничена, так как $t$ зависит от $x$. Найдем, какие значения может принимать $t(x) = x^2 - 2x$.

Функция $t(x) = x^2 - 2x$ является квадратичной. Её график — это парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число). Следовательно, эта функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Координата $x$ вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=1$ и $b=-2$.

$x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

Наименьшее значение $t$ достигается при $x=1$ и равно:

$t_{min} = t(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$.

Таким образом, область значений для переменной $t$ — это все числа, не меньшие $-1$, то есть $t \ge -1$.

Теперь нам нужно найти наименьшее значение функции $g(t) = t^2 + 6t + 10$ на промежутке $[-1, +\infty)$.

Функция $g(t)$ также является квадратичной, и её график — парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$). Найдем вершину этой параболы. Координата $t$ вершины: $t_0 = -\frac{b}{2a}$. Здесь $a=1$ и $b=6$.

$t_0 = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.

Вершина параболы $g(t)$ находится в точке $t_0 = -3$. Эта точка не принадлежит рассматриваемому промежутку $[-1, +\infty)$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, справа от вершины (при $t > -3$) функция $g(t)$ возрастает. Промежуток $[-1, +\infty)$ целиком находится справа от вершины, следовательно, на этом промежутке функция $g(t)$ является монотонно возрастающей.

Наименьшее значение на возрастающем участке функция принимает в его начальной точке. В нашем случае это точка $t = -1$.

Вычислим значение функции $g(t)$ в этой точке:

$g(-1) = (-1)^2 + 6(-1) + 10 = 1 - 6 + 10 = 5$.

Это и есть наименьшее значение функции $g(t)$ на промежутке $t \ge -1$, а значит, и наименьшее значение исходной функции $f(x)$.

Ответ: 5