Номер 4, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 2. Решение квадратных неравенств. Решение неравенств методом интервалов. Расположение нулей квадратичной функции относительно данной точки - номер 4, страница 72.

Условие.

4. Решите неравенство:

1) $(x + 9)(x - 2)(x + 1) < 0;$

2) $(x + 3)(1 - x)(x + 6)^2 \ge 0;$

3) $\frac{x}{x + 2} - \frac{4}{x - 5} + \frac{9x - 1}{x^2 - 3x - 10} \le 0.$

Решение.

1) Для решения неравенства $(x + 9)(x - 2)(x + 1) < 0$ используем метод интервалов.

Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x + 9)(x - 2)(x + 1) = 0$:

$x + 9 = 0 \Rightarrow x_1 = -9$

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

$x + 1 = 0 \Rightarrow x_3 = -1$

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -9)$, $(-9; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x = 3$:

$(3 + 9)(3 - 2)(3 + 1) = 12 \cdot 1 \cdot 4 = 48 > 0$.

Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться: +, -, +, -.

Расставим знаки на интервалах, двигаясь справа налево: $(2; +\infty)$ имеет знак "+", $(-1; 2)$ — знак "-", $(-9; -1)$ — знак "+", $(-\infty; -9)$ — знак "-".

Нам нужно найти, где выражение меньше нуля, то есть выбрать интервалы со знаком "-".

Это интервалы $(-\infty; -9)$ и $(-1; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (-1; 2)$.

2) Решим неравенство $(x + 3)(1 - x)(x + 6)^2 \ge 0$.

Для удобства приведем множитель $(1-x)$ к стандартному виду $(x-1)$, вынеся минус за скобку:

$(x + 3)(-(x - 1))(x + 6)^2 \ge 0$

$-(x + 3)(x - 1)(x + 6)^2 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$(x + 3)(x - 1)(x + 6)^2 \le 0$

Найдем корни уравнения $(x + 3)(x - 1)(x + 6)^2 = 0$:

$x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3$ (корень кратности 1)

$x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1$ (корень кратности 1)

$x + 6 = 0 \Rightarrow x_3 = -6$ (корень кратности 2)

Отметим эти точки на числовой прямой. Неравенство нестрогое, поэтому все корни являются решениями. Точки: -6, -3, 1.

Определим знак выражения на интервалах. Возьмем точку из крайнего правого интервала, например, $x=2$:

$(2 + 3)(2 - 1)(2 + 6)^2 = 5 \cdot 1 \cdot 8^2 > 0$.

При переходе через корень $x=1$ (нечетная кратность) знак меняется на "-".

При переходе через корень $x=-3$ (нечетная кратность) знак меняется на "+".

При переходе через корень $x=-6$ (четная кратность) знак не меняется, остается "+".

Знаки на интервалах: $(1; +\infty)$ — "+", $(-3; 1)$ — "-", $(-6; -3)$ — "+", $(-\infty; -6)$ — "+".

Нам нужно найти, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал со знаком "-" и сами корни.

Интервал, где выражение отрицательно: $(-3; 1)$.

Точки, где выражение равно нулю: $x=-6, x=-3, x=1$.

Объединяя, получаем отрезок $[-3; 1]$ и изолированную точку $\{-6\}$.

Ответ: $x \in \{-6\} \cup [-3; 1]$.

3) Решим неравенство $\frac{x}{x+2} - \frac{4}{x-5} + \frac{9x-1}{x^2 - 3x - 10} \le 0$.

Разложим знаменатель последней дроби на множители. Корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$ по теореме Виета равны 5 и -2. Тогда $x^2 - 3x - 10 = (x-5)(x+2)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{x}{x+2} - \frac{4}{x-5} + \frac{9x-1}{(x-5)(x+2)} \le 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne -2$ и $x \ne 5$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x+2)(x-5)$:

$\frac{x(x-5) - 4(x+2) + (9x-1)}{(x+2)(x-5)} \le 0$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{x^2 - 5x - 4x - 8 + 9x - 1}{(x+2)(x-5)} \le 0$

$\frac{x^2 - 9}{(x+2)(x-5)} \le 0$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:

$\frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x-5)} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов.

Найдем нули числителя: $x-3=0 \Rightarrow x=3$; $x+3=0 \Rightarrow x=-3$. Эти точки включаем в решение (закрашенные точки на оси).

Найдем нули знаменателя: $x+2=0 \Rightarrow x=-2$; $x-5=0 \Rightarrow x=5$. Эти точки исключаем из решения (выколотые точки на оси).

Отметим все точки на числовой прямой: -3, -2, 3, 5.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(5; +\infty)$, взяв $x=6$:

$\frac{(6-3)(6+3)}{(6+2)(6-5)} = \frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 1} > 0$.

Все корни имеют кратность 1, поэтому знаки на интервалах чередуются: +, -, +, -, +.

Интервалы и знаки: $(-\infty; -3]$ — "+", $[-3; -2)$ — "-", $(-2; 3]$ — "+", $[3; 5)$ — "-", $(5; +\infty)$ — "+".

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это интервалы со знаком "-".

Получаем объединение интервалов $[-3; -2)$ и $[3; 5)$.

Ответ: $x \in [-3; -2) \cup [3; 5)$.