Номер 6, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 2. Решение квадратных неравенств. Решение неравенств методом интервалов. Расположение нулей квадратичной функции относительно данной точки - номер 6, страница 72.

Условие.

6. При каких значениях параметра $a$ все корни уравнения

$x^2 - 2ax + a^2 - a - 10 = 0$ больше 2?

Решение.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 2ax + a^2 - a - 10 = 0$. Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - a - 10$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 ($1 > 0$). Задача состоит в том, чтобы найти такие значения параметра $a$, при которых все корни уравнения (нули функции $f(x)$) больше 2.

Для того чтобы оба корня (возможно, совпадающих) квадратного уравнения были больше некоторого числа $k$ (в нашем случае $k=2$), необходимо и достаточно выполнение следующих трех условий:

1. Уравнение должно иметь действительные корни, то есть дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
2. Абсцисса вершины параболы $x_v$ должна быть больше $k$, то есть $x_v > 2$.
3. Значение функции в точке $k$ должно быть положительным (так как ветви параболы направлены вверх), то есть $f(2) > 0$.

Проверим выполнение каждого условия.

1. Условие существования действительных корней

Найдем дискриминант уравнения: $D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - a - 10) = 4a^2 - 4(a^2 - a - 10) = 4a^2 - 4a^2 + 4a + 40 = 4a + 40$. Решим неравенство $D \ge 0$: $4a + 40 \ge 0$ $4a \ge -40$ $a \ge -10$

2. Условие для вершины параболы

Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a_{coeff}}$. Для нашего уравнения $b = -2a$ и $a_{coeff} = 1$: $x_v = -\frac{-2a}{2 \cdot 1} = a$. Решим неравенство $x_v > 2$: $a > 2$

3. Условие для значения функции в точке 2

Найдем значение функции $f(x)$ при $x = 2$: $f(2) = 2^2 - 2a(2) + a^2 - a - 10 = 4 - 4a + a^2 - a - 10 = a^2 - 5a - 6$. Решим неравенство $f(2) > 0$: $a^2 - 5a - 6 > 0$. Найдем корни соответствующего уравнения $a^2 - 5a - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение -6. Корни равны $a_1 = 6$ и $a_2 = -1$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $a^2 - 5a - 6 > 0$ выполняется при значениях $a$, находящихся вне интервала между корнями: $a < -1$ или $a > 6$.

Нахождение искомых значений параметра a

Для решения задачи необходимо найти значения $a$, удовлетворяющие всем трем условиям одновременно. Составим систему неравенств: $$ \begin{cases} a \ge -10 \\ a > 2 \\ a \in (-\infty, -1) \cup (6, +\infty) \end{cases} $$ Из первых двух неравенств следует, что $a > 2$. Теперь найдем пересечение этого результата с третьим условием: $a \in (2, +\infty) \cap ((-\infty, -1) \cup (6, +\infty))$. Интервал $(2, +\infty)$ не пересекается с $(-\infty, -1)$. Пересечением интервалов $(2, +\infty)$ и $(6, +\infty)$ является интервал $(6, +\infty)$. Таким образом, искомые значения параметра $a$ - это $a > 6$.

Ответ: $a \in (6; +\infty)$.