Номер 2, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 3. Уравнения с двумя переменными и их системы - номер 2, страница 73.

Условие.

2. Постройте график уравнения $|y + x^2| = |x^2 - 4|$

Решение.

Данное уравнение $|y + x^2| = |x^2 - 4|$ является уравнением вида $|A| = |B|$, которое равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ и $A = -B$.

Рассмотрим оба случая.

1. Случай, когда $y + x^2 = x^2 - 4$

Упростим это уравнение:

$y + x^2 - x^2 = -4$

$y = -4$

Это уравнение задает горизонтальную прямую, параллельную оси абсцисс (Ox) и проходящую через точку $(0, -4)$.

2. Случай, когда $y + x^2 = -(x^2 - 4)$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$y + x^2 = -x^2 + 4$

$y = -x^2 - x^2 + 4$

$y = -2x^2 + 4$

Это уравнение задает параболу. Определим ее ключевые параметры:

• Коэффициент при $x^2$ равен $-2$, он отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
• Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
  $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-2)} = 0$.
  $y_0 = -2(0)^2 + 4 = 4$.
  Вершина параболы находится в точке $(0, 4)$.
• Найдем точки пересечения с осью Ox, приравняв $y$ к нулю:
  $0 = -2x^2 + 4$
  $2x^2 = 4$
  $x^2 = 2$
  $x = \pm\sqrt{2}$.
  Точки пересечения с осью Ox: $(\sqrt{2}, 0)$ и $(-\sqrt{2}, 0)$.

Построение графика

Искомый график является объединением графиков, полученных в обоих случаях. Таким образом, необходимо на одной координатной плоскости построить:

1. Прямую $y = -4$.
2. Параболу $y = -2x^2 + 4$ с вершиной в точке $(0, 4)$ и ветвями, направленными вниз.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение двух кривых: горизонтальной прямой $y = -4$ и параболы $y = -2x^2 + 4$, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 4)$.