Номер 5, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 4. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств - номер 5, страница 74.

Условие.

5. Известно, что $a > 0$, $b > 0$ и $3a + 5b = 30$. Найдите наибольшее значение выражения $ab$.

Решение.

По условию задачи даны положительные числа $a > 0$ и $b > 0$, которые связаны соотношением $3a + 5b = 30$. Необходимо найти наибольшее значение их произведения $ab$.

Для решения этой задачи можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два наиболее распространенных.

Способ 1: Метод подстановки и нахождения вершины параболы

Из линейного уравнения $3a + 5b = 30$ выразим одну переменную через другую. Например, выразим $b$ через $a$:

$5b = 30 - 3a$

$b = \frac{30 - 3a}{5} = 6 - \frac{3}{5}a$

Так как по условию $b > 0$, то должно выполняться неравенство $6 - \frac{3}{5}a > 0$, что равносильно $\frac{3}{5}a < 6$, или $a < 10$. Учитывая, что $a > 0$, получаем ограничение на $a$: $0 < a < 10$.

Теперь подставим полученное выражение для $b$ в произведение $ab$. Получим функцию $P(a)$, зависящую только от переменной $a$:

$P(a) = a \cdot b = a\left(6 - \frac{3}{5}a\right) = 6a - \frac{3}{5}a^2$

Функция $P(a) = -\frac{3}{5}a^2 + 6a$ является квадратичной. Её график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $a^2$ отрицателен ($-3/5 < 0$). Наибольшее значение такой функции достигается в её вершине.

Координата вершины параболы $y = kx^2 + lx + m$ находится по формуле $x_0 = -\frac{l}{2k}$. В нашем случае:

$a_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-\frac{3}{5})} = -\frac{6}{-\frac{6}{5}} = 6 \cdot \frac{5}{6} = 5$

Значение $a=5$ удовлетворяет условию $0 < a < 10$.

Теперь найдем соответствующее значение $b$:

$b = 6 - \frac{3}{5} \cdot 5 = 6 - 3 = 3$

Наибольшее значение произведения $ab$ равно:

$ab = 5 \cdot 3 = 15$

Способ 2: Использование неравенства о средних (неравенство Коши)

Неравенство о средних арифметическом и геометрическом для двух положительных чисел $x$ и $y$ утверждает, что:

$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$

Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $x=y$.

Рассмотрим слагаемые в данном нам выражении: $x = 3a$ и $y = 5b$. Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, то $x$ и $y$ также положительны. Применим к ним неравенство Коши:

$\frac{3a + 5b}{2} \ge \sqrt{(3a)(5b)}$

Подставим известное значение суммы $3a + 5b = 30$ в левую часть:

$\frac{30}{2} \ge \sqrt{15ab}$

$15 \ge \sqrt{15ab}$

Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$15^2 \ge 15ab$

$225 \ge 15ab$

Разделим обе части на 15:

$15 \ge ab$

Это означает, что наибольшее возможное значение произведения $ab$ равно 15. Оно достигается, когда в неравенстве Коши выполняется условие равенства, то есть $x=y$, что в нашем случае означает $3a = 5b$.

Чтобы найти значения $a$ и $b$, решим систему уравнений:

$\begin{cases} 3a + 5b = 30 \\ 3a = 5b \end{cases}$

Подставим $5b$ вместо $3a$ в первое уравнение:

$5b + 5b = 30$

$10b = 30$

$b = 3$

Теперь найдем $a$:

$3a = 5 \cdot 3 = 15$

$a = 5$

Значения $a=5$ и $b=3$ положительны, и при них произведение $ab$ достигает своего максимального значения: $5 \cdot 3 = 15$.

Ответ: 15