Номер 4, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 4. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств - номер 4, страница 74.

Условие.

4. Докажите неравенство $x^4 + 4y^2 + 9 \geq -2x^2y + 3x^2 - 6y$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства перенесем все его члены в левую часть:

$x^4 + 4y^2 + 9 \geq -2x^2y + 3x^2 - 6y$

$x^4 + 4y^2 + 9 + 2x^2y - 3x^2 + 6y \geq 0$

Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы можно было выделить полные квадраты. Удобно рассматривать левую часть как квадратный трехчлен относительно переменной $y$:

$4y^2 + (2x^2y + 6y) + (x^4 - 3x^2 + 9) \geq 0$

$4y^2 + 2(x^2 + 3)y + (x^4 - 3x^2 + 9) \geq 0$

Дополним выражение с переменной $y$ до полного квадрата, используя формулу $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. В нашем случае $a^2 = 4y^2$, поэтому $a = 2y$. Тогда член $2ab$ равен $2(2y)b = 4yb$. Приравнивая его к члену $2(x^2 + 3)y$ из нашего выражения, получаем $4yb = 2(x^2+3)y$, откуда $b = \frac{x^2+3}{2}$.

Добавим и вычтем $b^2 = \left(\frac{x^2+3}{2}\right)^2$, чтобы выделить полный квадрат:

$\left(4y^2 + 2(x^2 + 3)y + \left(\frac{x^2+3}{2}\right)^2\right) - \left(\frac{x^2+3}{2}\right)^2 + x^4 - 3x^2 + 9 \geq 0$

Теперь свернем полный квадрат и упростим оставшиеся слагаемые:

$\left(2y + \frac{x^2+3}{2}\right)^2 - \frac{(x^2+3)^2}{4} + x^4 - 3x^2 + 9 \geq 0$

$\left(2y + \frac{x^2+3}{2}\right)^2 - \frac{x^4+6x^2+9}{4} + \frac{4(x^4 - 3x^2 + 9)}{4} \geq 0$

$\left(2y + \frac{x^2+3}{2}\right)^2 + \frac{-x^4-6x^2-9 + 4x^4 - 12x^2 + 36}{4} \geq 0$

$\left(2y + \frac{x^2+3}{2}\right)^2 + \frac{3x^4 - 18x^2 + 27}{4} \geq 0$

Вынесем общий множитель 3 в числителе второго слагаемого. Заметим, что оставшееся выражение в скобках также является полным квадратом:

$\left(2y + \frac{x^2+3}{2}\right)^2 + \frac{3(x^4 - 6x^2 + 9)}{4} \geq 0$

$\left(2y + \frac{x^2+3}{2}\right)^2 + \frac{3(x^2 - 3)^2}{4} \geq 0$

Полученное неравенство справедливо для любых действительных чисел $x$ и $y$. Левая часть неравенства представляет собой сумму двух слагаемых. Первое слагаемое, $\left(2y + \frac{x^2+3}{2}\right)^2$, является квадратом действительного числа и, следовательно, всегда неотрицательно. Второе слагаемое, $\frac{3(x^2 - 3)^2}{4}$, также всегда неотрицательно, поскольку является квадратом действительного числа, умноженным на положительную константу $\frac{3}{4}$. Сумма двух неотрицательных чисел всегда неотрицательна.

Следовательно, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано. После переноса всех членов в левую часть и выделения полных квадратов, неравенство приводится к виду $\left(2y + \frac{x^2+3}{2}\right)^2 + \frac{3(x^2 - 3)^2}{4} \geq 0$. Так как левая часть является суммой двух неотрицательных выражений, она всегда больше либо равна нулю, что и требовалось доказать.