Номер 3, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 3. Уравнения с двумя переменными и их системы - номер 3, страница 73.

Условие.

3. Решите систему уравнений:

1) $$\begin{cases} 2x - y = 4, \\ 2xy - y^2 = -8; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} 3xy + 2 = \frac{y^3}{x}, \\ 2xy + 1 = \frac{x^3}{y}; \end{cases}$$

3) $$\begin{cases} 3x^2 - 2xy - y^2 = 4, \\ x^2 + 3xy + 3y^2 = 1. \end{cases}$$

Решение.

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y = 4, \\ 2xy - y^2 = -8. \end{cases} $

Из второго уравнения вынесем $y$ за скобки:

$ y(2x - y) = -8 $

Из первого уравнения системы известно, что $2x - y = 4$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$ y \cdot 4 = -8 $

Отсюда находим $y$:

$ y = \frac{-8}{4} = -2 $

Теперь подставим найденное значение $y$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:

$ 2x - (-2) = 4 $

$ 2x + 2 = 4 $

$ 2x = 2 $

$ x = 1 $

Таким образом, решение системы — пара чисел $(1, -2)$.

Ответ: $(1, -2)$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3xy + 2 = \frac{y^3}{x}, \\ 2xy + 1 = \frac{x^3}{y}. \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Преобразуем уравнения системы:

$ \begin{cases} 3xy - \frac{y^3}{x} = -2, \\ 2xy - \frac{x^3}{y} = -1. \end{cases} $

Умножим второе уравнение на 2, чтобы правые части уравнений совпали по модулю:

$ 4xy - \frac{2x^3}{y} = -2 $

Теперь приравняем левые части первого и преобразованного второго уравнений:

$ 3xy - \frac{y^3}{x} = 4xy - \frac{2x^3}{y} $

Перенесем все члены в одну сторону:

$ \frac{2x^3}{y} - \frac{y^3}{x} - xy = 0 $

Умножим обе части уравнения на $xy$ (что допустимо, так как $x \neq 0, y \neq 0$):

$ 2x^4 - y^4 - x^2y^2 = 0 $

$ 2x^4 - x^2y^2 - y^4 = 0 $

Это однородное уравнение. Поскольку $y \neq 0$, разделим обе части на $y^4$:

$ 2\left(\frac{x}{y}\right)^4 - \left(\frac{x}{y}\right)^2 - 1 = 0 $

Сделаем замену $t = \left(\frac{x}{y}\right)^2$. Так как $t$ является квадратом, $t \ge 0$.

$ 2t^2 - t - 1 = 0 $

Решим это квадратное уравнение относительно $t$:

$ t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4} $

Получаем два корня: $t_1 = \frac{1+3}{4} = 1$ и $t_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$.

Корень $t_2 = -\frac{1}{2}$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Возвращаемся к замене с $t_1 = 1$:

$ \left(\frac{x}{y}\right)^2 = 1 \implies \frac{x}{y} = \pm 1 $

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\frac{x}{y} = 1 \implies x = y$.

Подставим $x=y$ во второе исходное уравнение $2xy + 1 = \frac{x^3}{y}$:

$ 2x(x) + 1 = \frac{x^3}{x} \implies 2x^2 + 1 = x^2 \implies x^2 = -1 $.

Это уравнение не имеет действительных решений.

Случай 2: $\frac{x}{y} = -1 \implies x = -y$.

Подставим $x=-y$ во второе исходное уравнение $2xy + 1 = \frac{x^3}{y}$:

$ 2(-y)y + 1 = \frac{(-y)^3}{y} \implies -2y^2 + 1 = \frac{-y^3}{y} \implies -2y^2 + 1 = -y^2 \implies y^2 = 1 $.

Отсюда $y = 1$ или $y = -1$.

Если $y = 1$, то $x = -y = -1$. Получаем решение $(-1, 1)$.

Если $y = -1$, то $x = -y = 1$. Получаем решение $(1, -1)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(-1, 1), (1, -1)$.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x^2 - 2xy - y^2 = 4, \\ x^2 + 3xy + 3y^2 = 1. \end{cases} $

Это система однородных уравнений. Чтобы решить ее, уравняем правые части. Умножим второе уравнение на 4:

$ 4(x^2 + 3xy + 3y^2) = 4 \cdot 1 $

$ 4x^2 + 12xy + 12y^2 = 4 $

Теперь приравняем левые части первого и преобразованного второго уравнений:

$ 3x^2 - 2xy - y^2 = 4x^2 + 12xy + 12y^2 $

Перенесем все члены в правую часть:

$ (4x^2 - 3x^2) + (12xy + 2xy) + (12y^2 + y^2) = 0 $

$ x^2 + 14xy + 13y^2 = 0 $

Заметим, что $y=0$ не может быть решением, так как в этом случае $x=0$, а пара $(0,0)$ не удовлетворяет исходной системе. Поэтому можно разделить уравнение на $y^2$:

$ \left(\frac{x}{y}\right)^2 + 14\left(\frac{x}{y}\right) + 13 = 0 $

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$ t^2 + 14t + 13 = 0 $

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = -1$ и $t_2 = -13$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\frac{x}{y} = -1 \implies x = -y$.

Подставим это соотношение во второе уравнение исходной системы $x^2 + 3xy + 3y^2 = 1$:

$ (-y)^2 + 3(-y)y + 3y^2 = 1 $

$ y^2 - 3y^2 + 3y^2 = 1 $

$ y^2 = 1 \implies y = \pm 1 $

Если $y = 1$, то $x = -1$. Решение: $(-1, 1)$.

Если $y = -1$, то $x = 1$. Решение: $(1, -1)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = -13 \implies x = -13y$.

Подставим это соотношение во второе уравнение исходной системы $x^2 + 3xy + 3y^2 = 1$:

$ (-13y)^2 + 3(-13y)y + 3y^2 = 1 $

$ 169y^2 - 39y^2 + 3y^2 = 1 $

$ 133y^2 = 1 \implies y^2 = \frac{1}{133} \implies y = \pm \frac{1}{\sqrt{133}} = \pm \frac{\sqrt{133}}{133} $

Если $y = \frac{\sqrt{133}}{133}$, то $x = -13y = -\frac{13\sqrt{133}}{133}$. Решение: $(-\frac{13\sqrt{133}}{133}, \frac{\sqrt{133}}{133})$.

Если $y = -\frac{\sqrt{133}}{133}$, то $x = -13y = \frac{13\sqrt{133}}{133}$. Решение: $(\frac{13\sqrt{133}}{133}, -\frac{\sqrt{133}}{133})$.

Ответ: $(1, -1), (-1, 1), (\frac{13\sqrt{133}}{133}, -\frac{\sqrt{133}}{133}), (-\frac{13\sqrt{133}}{133}, \frac{\sqrt{133}}{133})$.