Номер 5, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 2. Решение квадратных неравенств. Решение неравенств методом интервалов. Расположение нулей квадратичной функции относительно данной точки - номер 5, страница 72.

Условие.

5. Решите неравенство:

1) $|x^2 - 12x + 25| < 3x - 11;$

2) $|x^2 + 5x + 1| > 2x + 5.$

Решение.

1) $|x^2 - 12x + 25| < 3x - 11$

Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе неравенств $ \begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > -g(x) \end{cases} $, при условии, что $g(x) > 0$. Таким образом, мы решаем систему:

$ \begin{cases} x^2 - 12x + 25 < 3x - 11 \\ x^2 - 12x + 25 > -(3x - 11) \\ 3x - 11 > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

а) $x^2 - 12x + 25 < 3x - 11$

$x^2 - 15x + 36 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 15x + 36 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = 3$, $x_2 = 12$. Поскольку коэффициент при $x^2$ положительный, ветви параболы направлены вверх, и неравенство выполняется между корнями: $x \in (3; 12)$.

б) $x^2 - 12x + 25 > -(3x - 11)$

$x^2 - 12x + 25 > -3x + 11$

$x^2 - 9x + 14 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 9x + 14 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = 2$, $x_2 = 7$. Ветви параболы направлены вверх, и неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty; 2) \cup (7; \infty)$.

в) $3x - 11 > 0$

$3x > 11$

$x > \frac{11}{3}$

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств. Отметим, что $\frac{11}{3} \approx 3.67$.

Нужно найти пересечение множеств $(3; 12)$, $(-\infty; 2) \cup (7; \infty)$ и $(\frac{11}{3}; \infty)$.

Пересечение $(3; 12)$ и $(\frac{11}{3}; \infty)$ дает интервал $(\frac{11}{3}; 12)$.

Далее, пересекаем $(\frac{11}{3}; 12)$ с $(-\infty; 2) \cup (7; \infty)$. Так как $\frac{11}{3} > 2$, пересечения с $(-\infty; 2)$ нет. Пересечение $(\frac{11}{3}; 12)$ и $(7; \infty)$ дает интервал $(7; 12)$.

Ответ: $(7; 12)$.

2) $|x^2 + 5x + 1| > 2x + 5$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения в правой части.

Случай 1: $2x + 5 < 0$, то есть $x < -2.5$.

В этом случае правая часть неравенства отрицательна, а левая часть (модуль) всегда неотрицательна. Неравенство вида $|A| > B$, где $B < 0$, всегда верно. Следовательно, все $x$ из промежутка $(-\infty; -2.5)$ являются решением.

Случай 2: $2x + 5 \ge 0$, то есть $x \ge -2.5$.

В этом случае неравенство равносильно совокупности (объединению) двух неравенств:

$x^2 + 5x + 1 > 2x + 5$ или $x^2 + 5x + 1 < -(2x + 5)$.

а) Решим первое неравенство: $x^2 + 5x + 1 > 2x + 5 \implies x^2 + 3x - 4 > 0$.

Корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$ это $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$. Решение неравенства: $x \in (-\infty; -4) \cup (1; \infty)$.

б) Решим второе неравенство: $x^2 + 5x + 1 < -(2x + 5) \implies x^2 + 5x + 1 < -2x - 5 \implies x^2 + 7x + 6 < 0$.

Корни уравнения $x^2 + 7x + 6 = 0$ это $x_1 = -6$ и $x_2 = -1$. Решение неравенства: $x \in (-6; -1)$.

Объединение решений а) и б) дает множество: $(-\infty; -4) \cup (1; \infty) \cup (-6; -1) = (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.

Теперь найдем пересечение этого множества с условием для данного случая, $x \ge -2.5$.

$((-\infty; -1) \cup (1; \infty)) \cap [-2.5; \infty) = [-2.5; -1) \cup (1; \infty)$.

Итоговое решение является объединением решений из обоих случаев (Случай 1 и Случай 2):

$(-\infty; -2.5) \cup ([-2.5; -1) \cup (1; \infty)) = (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.