Номер 3, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 2. Решение квадратных неравенств. Решение неравенств методом интервалов. Расположение нулей квадратичной функции относительно данной точки - номер 3, страница 72.

Условие.

3. Решите систему неравенств

$ \begin{cases} x^2 + x - 2 > 0, \\ |x - 2| \leq 5. \end{cases} $

Решение.

Для решения данной системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение (общую часть) их множеств решений.

Решение первого неравенства $x^2 + x - 2 > 0$

Это квадратное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2$

Парабола $y = x^2 + x - 2$ имеет ветви, направленные вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, неравенство $x^2 + x - 2 > 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами корней. Таким образом, решение первого неравенства:

$x \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty)$

Решение второго неравенства $|x - 2| \le 5$

Неравенство вида $|f(x)| \le a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$. Применив это правило, получаем:

$-5 \le x - 2 \le 5$

Чтобы найти $x$, прибавим 2 ко всем трем частям двойного неравенства:

$-5 + 2 \le x - 2 + 2 \le 5 + 2$

$-3 \le x \le 7$

Решение второго неравенства в виде промежутка:

$x \in [-3, 7]$

Нахождение решения системы

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Найдем пересечение множеств $x \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty)$ и $x \in [-3, 7]$.

Для наглядности можно изобразить эти множества на числовой прямой. Пересечение состоит из двух интервалов:

1. Пересечение $[-3, 7]$ с $(-\infty, -2)$ дает промежуток $[-3, -2)$.

2. Пересечение $[-3, 7]$ с $(1, \infty)$ дает промежуток $(1, 7]$.

Объединяя эти два промежутка, получаем окончательное решение системы неравенств.

Ответ: $x \in [-3, -2) \cup (1, 7]$.