Номер 4, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 1. Квадратичная функция - номер 4, страница 71.

Условие.

4. Постройте график функции $f(x) = -x^2 - 2x + 8$. Используя график, найдите:

1) область значений функции;

2) промежуток возрастания функции;

3) множество решений неравенства $f(x) < 0$.

Решение.

Для построения графика функции $f(x) = -x^2 - 2x + 8$ и анализа ее свойств, найдем ключевые точки. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины параболы. Абсцисса вершины находится по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$.
$x_в = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-2}{-2} = -1$.
Ордината вершины находится подстановкой $x_в$ в уравнение функции:
$y_в = f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1; 9)$.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$): $f(0) = -0^2 - 2 \cdot 0 + 8 = 8$. Точка пересечения — $(0; 8)$.
С осью Ox (при $f(x)=0$): $-x^2 - 2x + 8 = 0$. Умножим на $-1$: $x^2 + 2x - 8 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$. Точки пересечения — $(-4; 0)$ и $(2; 0)$.

На основе этих данных можно построить график. Теперь, используя график (и проведенный анализ), ответим на вопросы.

1) область значений функции;
Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Так как ветви параболы направлены вниз, а ее вершина находится в точке $(-1; 9)$, максимальное значение функции равно 9. Функция принимает все значения от $-\infty$ до 9 включительно.
Ответ: $E(f) = (-\infty; 9]$.

2) промежуток возрастания функции;
Функция возрастает на том промежутке, где ее график "идет вверх" при движении слева направо. Для параболы с ветвями вниз это происходит на луче до абсциссы вершины. Вершина имеет абсциссу $x = -1$. Следовательно, функция возрастает на промежутке от $-\infty$ до $-1$.
Ответ: $(-\infty; -1]$.

3) множество решений неравенства f(x) < 0.
Неравенство $f(x) < 0$ означает, что мы ищем те значения $x$, при которых график функции находится ниже оси Ox. Мы нашли, что график пересекает ось Ox в точках $x = -4$ и $x = 2$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, график находится ниже оси Ox левее точки $x=-4$ и правее точки $x=2$.
Ответ: $(-\infty; -4) \cup (2; +\infty)$.