Номер 2, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 1. Квадратичная функция - номер 2, страница 71.

Условие.

2. Найдите область значений функции $y = \frac{4x - 12}{x^2}$.

Решение.

Чтобы найти область значений функции $y = \frac{4x - 12}{x^2}$, необходимо определить множество всех значений, которые может принимать переменная $y$. Для этого выясним, при каких значениях параметра $a$ уравнение $a = \frac{4x - 12}{x^2}$ будет иметь хотя бы одно действительное решение для $x$.

Сначала отметим область определения функции: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x^2 \neq 0$, откуда $x \neq 0$.

Рассмотрим уравнение, считая $y$ параметром:$y = \frac{4x - 12}{x^2}$

Поскольку $x \neq 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $x^2$:$yx^2 = 4x - 12$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить уравнение, приведенное к стандартному виду относительно $x$:$yx^2 - 4x + 12 = 0$

Теперь проанализируем это уравнение в зависимости от значения параметра $y$.

1. Если $y = 0$, уравнение становится линейным:$0 \cdot x^2 - 4x + 12 = 0$$-4x = -12$$x = 3$Поскольку мы нашли действительное значение $x=3$, которое удовлетворяет области определения ($x \neq 0$), значение $y=0$ входит в область значений функции.

2. Если $y \neq 0$, уравнение $yx^2 - 4x + 12 = 0$ является квадратным. Оно имеет действительные корни (решения) тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \geq 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:$D = (-4)^2 - 4 \cdot y \cdot 12 = 16 - 48y$

Теперь решим неравенство $D \geq 0$:$16 - 48y \geq 0$$16 \geq 48y$Разделим обе части на 48:$y \leq \frac{16}{48}$$y \leq \frac{1}{3}$

Это означает, что при $y \neq 0$ уравнение имеет решения, если $y \leq \frac{1}{3}$.

Объединяя результаты обоих случаев, мы видим, что значение $y=0$ из первого случая также удовлетворяет условию $y \leq \frac{1}{3}$ из второго случая. Следовательно, функция может принимать любые значения $y$, которые меньше или равны $\frac{1}{3}$.

Таким образом, область значений функции — это промежуток $(-\infty, \frac{1}{3}]$.

Ответ: $E(y) = (-\infty, \frac{1}{3}]$