Номер 4, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 8. Итоговая - номер 4, страница 70.

Условие.

4. Двое трактористов, работая вместе, могут вспахать поле за 4 дня. Если первый тракторист вспашет $\frac{1}{3}$ поля, а затем его заменит второй, то всё поле будет вспахано за 10 дней. За сколько дней может вспахать поле каждый тракторист, работая самостоятельно?

Решение.

Решение:

Пусть первый тракторист может вспахать все поле самостоятельно за $x$ дней, а второй — за $y$ дней. Тогда производительность (часть поля, вспахиваемая за один день) первого тракториста равна $\frac{1}{x}$, а второго — $\frac{1}{y}$.

1. Составление первого уравнения.

Согласно первому условию, работая вместе, они вспахивают поле за 4 дня. Их совместная производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. За 4 дня они выполняют всю работу, которую мы принимаем за 1. Получаем уравнение:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 4 = 1$

Отсюда следует:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$

2. Составление второго уравнения.

По второму условию, первый тракторист вспахал $\frac{1}{3}$ поля. Время, которое он на это затратил, равно $t_1 = \frac{\text{Работа}}{\text{Производительность}} = \frac{1/3}{1/x} = \frac{x}{3}$ дней.

После этого второй тракторист вспахал оставшуюся часть поля, то есть $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ поля. Время, которое он на это затратил: $t_2 = \frac{2/3}{1/y} = \frac{2y}{3}$ дней.

Общее время работы составило 10 дней, то есть $t_1 + t_2 = 10$. Получаем второе уравнение:

$\frac{x}{3} + \frac{2y}{3} = 10$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$x + 2y = 30$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \\ x + 2y = 30 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = 30 - 2y$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{1}{30 - 2y} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{y + (30 - 2y)}{y(30 - 2y)} = \frac{1}{4}$

$\frac{30 - y}{30y - 2y^2} = \frac{1}{4}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$4(30 - y) = 1(30y - 2y^2)$

$120 - 4y = 30y - 2y^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2y^2 - 30y - 4y + 120 = 0$

$2y^2 - 34y + 120 = 0$

Разделим все уравнение на 2:

$y^2 - 17y + 60 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 17, а их произведение равно 60. Этим условиям удовлетворяют числа 12 и 5.

$y_1 = 12$, $y_2 = 5$.

4. Нахождение соответствующих значений x.

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя уравнение $x = 30 - 2y$.

Если $y_1 = 12$, то $x_1 = 30 - 2 \cdot 12 = 30 - 24 = 6$.

Если $y_2 = 5$, то $x_2 = 30 - 2 \cdot 5 = 30 - 10 = 20$.

Оба решения являются допустимыми. Таким образом, существуют два возможных варианта распределения работы.

Ответ: Первый тракторист может вспахать поле за 6 дней, а второй — за 12 дней. Или наоборот: первый тракторист — за 20 дней, а второй — за 5 дней.