Номер 4, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 7. Числовые последовательности - номер 4, страница 69.

Условие.

4. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 27, а сумма трёх её первых членов равна 35. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Решение.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

По условию, сумма бесконечной геометрической прогрессии $S$ равна 27. Формула для суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии ($|q| < 1$):
$S = \frac{b_1}{1-q}$
Подставляя данное значение, получаем первое уравнение:
$\frac{b_1}{1-q} = 27$ (1)

Также по условию, сумма трёх её первых членов $S_3$ равна 35. Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$
Для $n=3$ получаем второе уравнение:
$S_3 = \frac{b_1(1-q^3)}{1-q} = 35$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$\begin{cases} \frac{b_1}{1-q} = 27 \\ \frac{b_1(1-q^3)}{1-q} = 35 \end{cases}$

Заметим, что левую часть второго уравнения можно представить как произведение:$S_3 = \left(\frac{b_1}{1-q}\right) \cdot (1-q^3)$

Подставим значение $\frac{b_1}{1-q}$ из первого уравнения во второе:
$27 \cdot (1-q^3) = 35$
Теперь решим это уравнение относительно $q$:
$1-q^3 = \frac{35}{27}$
$q^3 = 1 - \frac{35}{27}$
$q^3 = \frac{27}{27} - \frac{35}{27}$
$q^3 = -\frac{8}{27}$
$q = \sqrt[3]{-\frac{8}{27}} = -\frac{2}{3}$

Знаменатель $q = -\frac{2}{3}$. Проверим условие сходимости прогрессии: $|q| = |-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3} < 1$. Условие выполняется.

Теперь найдём первый член прогрессии $b_1$, используя уравнение (1):
$b_1 = 27 \cdot (1-q)$
Подставим найденное значение $q$:
$b_1 = 27 \cdot \left(1 - \left(-\frac{2}{3}\right)\right)$
$b_1 = 27 \cdot \left(1 + \frac{2}{3}\right)$
$b_1 = 27 \cdot \left(\frac{3}{3} + \frac{2}{3}\right)$
$b_1 = 27 \cdot \frac{5}{3}$
$b_1 = 9 \cdot 5 = 45$

Таким образом, первый член прогрессии равен 45, а знаменатель равен -2/3.

Ответ: первый член $b_1 = 45$, знаменатель $q = -\frac{2}{3}$.