Номер 3, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 7. Числовые последовательности. Вариант 1. Контрольные работы - номер 3, страница 69.

Условие.

3. При каком значении $x$ значения выражений $2x + 6$, $x + 7$ и $x + 4$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Решение.

Пусть данные выражения $2x + 6$, $x + 7$ и $x + 4$ являются последовательными членами геометрической прогрессии. Обозначим их как $b_1$, $b_2$ и $b_3$ соответственно.

$b_1 = 2x + 6$

$b_2 = x + 7$

$b_3 = x + 4$

Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии, квадрат любого её члена, начиная со второго, равен произведению его соседних членов: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим наши выражения в эту формулу:

$(x + 7)^2 = (2x + 6)(x + 4)$

При каком значении x значения выражений будут последовательными членами геометрической прогрессии?

Для нахождения $x$ решим составленное уравнение. Сначала раскроем скобки в обеих частях равенства.

$x^2 + 14x + 49 = 2x^2 + 8x + 6x + 24$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 14x + 49 = 2x^2 + 14x + 24$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 - x^2 + 14x - 14x + 24 - 49 = 0$

$x^2 - 25 = 0$

$x^2 = 25$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Ответ: выражения являются последовательными членами геометрической прогрессии при $x=5$ и $x=-5$.

Найдите члены этой прогрессии.

Теперь вычислим значения членов прогрессии для каждого найденного значения $x$.

1. При $x = 5$:

$b_1 = 2(5) + 6 = 10 + 6 = 16$

$b_2 = 5 + 7 = 12$

$b_3 = 5 + 4 = 9$

В этом случае члены прогрессии: 16, 12, 9.

2. При $x = -5$:

$b_1 = 2(-5) + 6 = -10 + 6 = -4$

$b_2 = -5 + 7 = 2$

$b_3 = -5 + 4 = -1$

В этом случае члены прогрессии: -4, 2, -1.

Ответ: при $x=5$ члены прогрессии равны 16, 12, 9; при $x=-5$ члены прогрессии равны -4, 2, -1.