Номер 3, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 8. Итоговая. Вариант 1. Контрольные работы - номер 3, страница 70.

Условие.

3. Решите систему уравнений

$\begin{cases} x^2 - xy = -8, \\ y^2 - xy = 24. \end{cases}$

Решение.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - xy = -8 \\ y^2 - xy = 24 \end{cases} $$

Преобразуем оба уравнения, вынеся общий множитель за скобки в левой части каждого уравнения:

$$ \begin{cases} x(x - y) = -8 \\ y(y - x) = 24 \end{cases} $$

Во втором уравнении можно заметить, что $y - x = -(x - y)$. Подставим это в уравнение:

$y(-(x - y)) = 24$

$-y(x - y) = 24$

$y(x - y) = -24$

Теперь система имеет вид:

$$ \begin{cases} x(x - y) = -8 \\ y(x - y) = -24 \end{cases} $$

Из правых частей уравнений следует, что $x \neq 0$, $y \neq 0$ и $(x - y) \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить второе уравнение на первое:

$$ \frac{y(x - y)}{x(x - y)} = \frac{-24}{-8} $$

Сократим общий множитель $(x-y)$ в левой части:

$$ \frac{y}{x} = 3 $$

Отсюда выразим $y$ через $x$:

$y = 3x$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение исходной системы $x^2 - xy = -8$:

$x^2 - x(3x) = -8$

$x^2 - 3x^2 = -8$

$-2x^2 = -8$

Разделим обе части уравнения на $-2$:

$x^2 = 4$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $x$:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя соотношение $y = 3x$.

При $x_1 = 2$, получаем $y_1 = 3 \cdot 2 = 6$.

При $x_2 = -2$, получаем $y_2 = 3 \cdot (-2) = -6$.

Таким образом, мы получили две пары решений: $(2; 6)$ и $(-2; -6)$.

Выполним проверку, подставив найденные пары в исходную систему уравнений.

Для пары $(2; 6)$:

$2^2 - 2 \cdot 6 = 4 - 12 = -8$ (верно)

$6^2 - 2 \cdot 6 = 36 - 12 = 24$ (верно)

Для пары $(-2; -6)$:

$(-2)^2 - (-2)(-6) = 4 - 12 = -8$ (верно)

$(-6)^2 - (-2)(-6) = 36 - 12 = 24$ (верно)

Оба решения удовлетворяют системе уравнений.

Ответ: $(2; 6)$, $(-2; -6)$.