Номер 8, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 8. Итоговая - номер 8, страница 70.

Условие.

8. При каких значениях параметра $a$ неравенство $(a - 4)x^2 + (8 - 2a)x + 5 > 0$ выполняется при всех действительных значениях $x$?

Решение.

Для того чтобы неравенство $(a-4)x^2 + (8-2a)x + 5 > 0$ выполнялось при всех действительных значениях $x$, рассмотрим два возможных случая, зависящих от коэффициента при $x^2$.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

Это происходит, когда $a-4=0$, то есть $a=4$. Подставим это значение параметра в исходное неравенство:

$(4-4)x^2 + (8-2 \cdot 4)x + 5 > 0$

$0 \cdot x^2 + (8-8)x + 5 > 0$

$5 > 0$

Полученное неравенство $5 > 0$ является верным при любых значениях $x$. Следовательно, значение $a=4$ является решением задачи.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

В этом случае $a-4 \ne 0$, и левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $f(x) = (a-4)x^2 + (8-2a)x + 5$. Графиком этой функции является парабола.

Чтобы неравенство $f(x) > 0$ выполнялось для всех $x$, необходимо, чтобы парабола была полностью расположена выше оси абсцисс. Это возможно только при одновременном выполнении двух условий:

1. Ветви параболы должны быть направлены вверх. Это означает, что старший коэффициент (при $x^2$) должен быть положительным:

$a-4 > 0 \implies a > 4$

2. Парабола не должна пересекать ось абсцисс, то есть квадратное уравнение $(a-4)x^2 + (8-2a)x + 5 = 0$ не должно иметь действительных корней. Это означает, что его дискриминант $D$ должен быть отрицательным:

$D < 0$

Найдем дискриминант:

$D = (8-2a)^2 - 4(a-4)(5) = 4(4-a)^2 - 20(a-4)$

Так как $(4-a)^2 = (a-4)^2$, можем записать:

$D = 4(a-4)^2 - 20(a-4)$

Теперь решим неравенство $D < 0$:

$4(a-4)^2 - 20(a-4) < 0$

Разделим обе части неравенства на 4:

$(a-4)^2 - 5(a-4) < 0$

Вынесем общий множитель $(a-4)$ за скобки:

$(a-4)((a-4) - 5) < 0$

$(a-4)(a-9) < 0$

Решая это квадратичное неравенство методом интервалов, находим, что оно выполняется для значений $a$ между корнями $a=4$ и $a=9$:

$4 < a < 9$

Для второго случая необходимо, чтобы выполнялись оба условия: $a > 4$ и $4 < a < 9$. Пересечением этих двух условий является интервал $a \in (4, 9)$.

Объединение результатов

Теперь объединим решения, полученные в обоих случаях.

Из первого случая мы получили решение $a=4$.

Из второго случая мы получили решение $a \in (4, 9)$.

Объединяя эти результаты, получаем множество всех значений параметра $a$, при которых исходное неравенство выполняется для всех $x$: $a \in \{4\} \cup (4, 9)$.

Это соответствует полуинтервалу $[4, 9)$.

Ответ: $a \in [4, 9)$