Номер 3, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 1. Квадратичная функция - номер 3, страница 71.

Условие.

3. Исследуйте на чётность функцию:

1) $y = 3x^2 - x^4$;

2) $y = \frac{x^7 - 3x^6}{3 - x}$;

3) $y = \frac{|x + 2|}{(4x - 1)^2} - \frac{|x - 2|}{(4x + 1)^2}$.

Решение.

1) $y = 3x^2 - x^4$

Чтобы исследовать функцию на чётность, необходимо проверить два условия: симметричность области определения и выполнение равенства $f(-x) = f(x)$ (для чётной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечётной функции).

Обозначим данную функцию как $f(x) = 3x^2 - x^4$.

1. Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = 3(-x)^2 - (-x)^4 = 3x^2 - x^4$.

Сравниваем полученное выражение с исходной функцией:

$f(-x) = 3x^2 - x^4 = f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

2) $y = \frac{x^7 - 3x^6}{3 - x}$

Обозначим данную функцию как $f(x) = \frac{x^7 - 3x^6}{3 - x}$.

1. Найдём область определения функции. Она определяется условием, что знаменатель не должен быть равен нулю:

$3 - x \neq 0$, откуда $x \neq 3$.

Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Эта область определения не является симметричной относительно начала координат, так как значение $x = 3$ исключено из области, в то время как значение $x = -3$ в неё входит. Поскольку первое условие для определения чётности/нечётности (симметричность области определения) не выполняется, функция не является ни чётной, ни нечётной (является функцией общего вида).

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

3) $y = \frac{|x + 2|}{(4x - 1)^2} - \frac{|x - 2|}{(4x + 1)^2}$

Обозначим данную функцию как $f(x) = \frac{|x + 2|}{(4x - 1)^2} - \frac{|x - 2|}{(4x + 1)^2}$.

1. Найдём область определения функции. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

$(4x - 1)^2 \neq 0 \implies 4x - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{4}$.

$(4x + 1)^2 \neq 0 \implies 4x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{4}$.

Область определения $D(f) = (-\infty; -\frac{1}{4}) \cup (-\frac{1}{4}; \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат (если точка $x$ принадлежит области определения, то и точка $-x$ ей принадлежит).

2. Найдём значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \frac{|(-x) + 2|}{(4(-x) - 1)^2} - \frac{|(-x) - 2|}{(4(-x) + 1)^2} = \frac{|2 - x|}{(-4x - 1)^2} - \frac{|-x - 2|}{(1 - 4x)^2}$.

Упростим полученное выражение, используя свойства модуля и степени: $|a| = |-a|$ и $(a)^2 = (-a)^2$.

$|2 - x| = |-(x - 2)| = |x - 2|$

$|-x - 2| = |-(x + 2)| = |x + 2|$

$(-4x - 1)^2 = (-(4x + 1))^2 = (4x + 1)^2$

$(1 - 4x)^2 = (-(4x - 1))^2 = (4x - 1)^2$

Подставим упрощённые части обратно в выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{|x - 2|}{(4x + 1)^2} - \frac{|x + 2|}{(4x - 1)^2}$.

Теперь сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:

$-f(x) = - \left( \frac{|x + 2|}{(4x - 1)^2} - \frac{|x - 2|}{(4x + 1)^2} \right) = \frac{|x - 2|}{(4x + 1)^2} - \frac{|x + 2|}{(4x - 1)^2}$.

Мы видим, что $f(-x) = -f(x)$. Поскольку область определения симметрична и выполняется это равенство, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.