Номер 2, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 2. Решение квадратных неравенств. Решение неравенств методом интервалов. Расположение нулей квадратичной функции относительно данной точки - номер 2, страница 72.

Условие.

2. Найдите область определения функции

$f(x) = \frac{\sqrt{15 + 2x - x^2}}{x^2 + 3x - 4}$

$(x^2 + x - 2 > 0$

Решение.

Область определения функции $f(x) = \frac{\sqrt{15 + 2x - x^2}}{x^2 + 3x - 4}$ находится при одновременном выполнении двух условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Рассмотрим эти условия по порядку.

1. Условие для числителя

Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю:

$15 + 2x - x^2 \ge 0$

Чтобы решить это квадратичное неравенство, сначала найдем корни соответствующего уравнения $-x^2 + 2x + 15 = 0$. Умножим обе части на -1 для удобства:

$x^2 - 2x - 15 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.

Корни уравнения равны:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2}$

$x_1 = \frac{2 - 8}{2} = -3$

$x_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5$

Графиком функции $y = -x^2 + 2x + 15$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, неравенство $15 + 2x - x^2 \ge 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение для первого условия: $x \in [-3; 5]$.

2. Условие для знаменателя

Знаменатель не должен равняться нулю:

$x^2 + 3x - 4 \ne 0$

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив уравнение $x^2 + 3x - 4 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения равны:

$x_{3,4} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}$

$x_3 = \frac{-3 - 5}{2} = -4$

$x_4 = \frac{-3 + 5}{2} = 1$

Следовательно, из области определения необходимо исключить точки $x = -4$ и $x = 1$.

Объединение условий

Теперь найдем пересечение результатов, полученных из двух условий. Область определения - это все значения $x$, которые принадлежат отрезку $[-3; 5]$ и при этом не равны -4 и 1.

• Значение $x = -4$ не входит в отрезок $[-3; 5]$, поэтому это ограничение уже выполнено.
• Значение $x = 1$ входит в отрезок $[-3; 5]$, поэтому эту точку необходимо исключить.

Исключая точку $x=1$ из отрезка $[-3; 5]$, получаем объединение двух промежутков.

Ответ: $x \in [-3; 1) \cup (1; 5]$