Номер 5, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 1. Квадратичная функция - номер 5, страница 71.

Условие.

5. Постройте график функции:

1) $y = |3 - \sqrt{x}|;$

2) $y = \sqrt{3 - x};$

3) $y = \sqrt{3 - 2x}.$

Решение.

1) $y = |3 - \sqrt{x}|$

Для построения графика этой функции выполним последовательные преобразования, начиная с базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Сначала определим область определения функции. Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$.

• 1. Строим график функции $y_1 = \sqrt{x}$. Это стандартная ветвь параболы, выходящая из начала координат (0,0) и проходящая через точки (1,1), (4,2), (9,3).
• 2. Строим график функции $y_2 = 3 - \sqrt{x}$. Этот график получается из графика $y_1 = \sqrt{x}$ путем следующих преобразований:
  • Сначала отражаем $y_1 = \sqrt{x}$ симметрично относительно оси Ox, получая $y = -\sqrt{x}$.
  • Затем сдвигаем полученный график на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.
  Ключевые точки для $y_2 = 3 - \sqrt{x}$: (0,3), (1,2), (4,1), (9,0).
• 3. Строим итоговый график $y = |3 - \sqrt{x}|$. Это означает, что часть графика $y_2 = 3 - \sqrt{x}$, которая находится ниже оси Ox, должна быть симметрично отражена относительно оси Ox, а часть, которая находится выше или на оси Ox, остается без изменений.
  • Найдем, где $y_2 \ge 0$: $3 - \sqrt{x} \ge 0 \implies \sqrt{x} \le 3 \implies 0 \le x \le 9$. На этом интервале график $y = |3 - \sqrt{x}|$ совпадает с графиком $y = 3 - \sqrt{x}$.
  • Найдем, где $y_2 < 0$: $3 - \sqrt{x} < 0 \implies \sqrt{x} > 3 \implies x > 9$. На этом интервале график $y = 3 - \sqrt{x}$ находится ниже оси Ox. Для получения итогового графика мы отражаем эту часть относительно оси Ox. То есть, при $x > 9$ функция будет выглядеть как $y = -(3 - \sqrt{x}) = \sqrt{x} - 3$. Например, точка (16, -1) на графике $y_2$ превратится в точку (16, 1) на итоговом графике.

Ключевые точки для построения графика $y = |3 - \sqrt{x}|$:

• Начало графика в точке (0, 3).
• Пересечение с осью Ox (точка "излома") в точке (9, 0).
• Промежуточные точки: (1, 2), (4, 1).
• Точка на возрастающей ветви: (16, 1).

Ответ: График функции $y = |3 - \sqrt{x}|$ получается из графика функции $y = 3 - \sqrt{x}$ путем отражения той части графика, которая лежит ниже оси абсцисс, в верхнюю полуплоскость. График начинается в точке (0, 3), убывает до точки (9, 0), а затем возрастает при $x > 9$.

2) $y = \sqrt{3 - x}$

Этот график можно построить путем преобразования базового графика функции $y = \sqrt{x}$.

Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3 - x \ge 0 \implies x \le 3$.

• 1. Строим график базовой функции $y_1 = \sqrt{x}$. Он начинается в точке (0,0) и идет вправо-вверх.
• 2. Строим график функции $y_2 = \sqrt{-x}$. Этот график получается путем симметричного отражения графика $y_1$ относительно оси Oy. Он начинается в точке (0,0) и идет влево-вверх, проходя через точки (-1,1), (-4,2).
• 3. Строим итоговый график $y = \sqrt{3 - x} = \sqrt{-(x - 3)}$. Этот график получается сдвигом графика $y_2 = \sqrt{-x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.

Ключевые точки для построения графика $y = \sqrt{3-x}$:

• Начальная точка графика (вершина) находится там, где подкоренное выражение равно нулю: $3-x=0 \implies x=3$. Точка (3, 0).
• Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y = \sqrt{3-0} = \sqrt{3} \approx 1.73$. Точка (0, $\sqrt{3}$).
• Другие точки:
  • при $x=2$, $y = \sqrt{3-2} = 1$. Точка (2, 1).
  • при $x=-1$, $y = \sqrt{3-(-1)} = \sqrt{4} = 2$. Точка (-1, 2).
  • при $x=-6$, $y = \sqrt{3-(-6)} = \sqrt{9} = 3$. Точка (-6, 3).

Ответ: График функции $y = \sqrt{3 - x}$ представляет собой ветвь параболы, симметричной оси Ox. График начинается в точке (3, 0) и уходит влево и вверх, проходя через точки (2, 1), (0, $\sqrt{3}$), (-1, 2).

3) $y = \sqrt{3 - 2x}$

Этот график также является преобразованием графика функции $y = \sqrt{x}$.

Найдем область определения: $3 - 2x \ge 0 \implies 3 \ge 2x \implies x \le 1.5$.

Построение графика можно выполнить в несколько шагов:

• 1. Строим график базовой функции $y_1 = \sqrt{x}$.
• 2. Выполняем сжатие графика $y_1$ к оси Oy в 2 раза, получая график функции $y_2 = \sqrt{2x}$.
• 3. Отражаем график $y_2$ симметрично относительно оси Oy, получая график функции $y_3 = \sqrt{-2x}$.
• 4. Сдвигаем график $y_3$ вправо на 1.5 единицы, чтобы получить итоговый график $y = \sqrt{3 - 2x} = \sqrt{-2(x - 1.5)}$.

Найдем ключевые точки для построения:

• Начальная точка графика (вершина): $3-2x=0 \implies x=1.5$. Точка (1.5, 0).
• Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y = \sqrt{3-0} = \sqrt{3} \approx 1.73$. Точка (0, $\sqrt{3}$).
• Другие точки:
  • при $x=1$, $y = \sqrt{3-2(1)} = \sqrt{1} = 1$. Точка (1, 1).
  • при $x=-0.5$, $y = \sqrt{3-2(-0.5)} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$. Точка (-0.5, 2).
  • при $x=-3$, $y = \sqrt{3-2(-3)} = \sqrt{3+6} = \sqrt{9} = 3$. Точка (-3, 3).

Ответ: График функции $y = \sqrt{3 - 2x}$ — это ветвь параболы, которая является результатом преобразования графика $y=\sqrt{x}$: отражения относительно оси Oy, сжатия к оси Oy в 2 раза и сдвига вправо на 1.5 единицы. График начинается в точке (1.5, 0) и уходит влево и вверх, проходя через точки (1, 1), (0, $\sqrt{3}$), (-0.5, 2).