Номер 35, страница 62 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 35, страница 62.

Условие.

Самостоятельная работа № 35

Суммирование

1. Найдите сумму $ \frac{5}{6} + \frac{71}{36} + \frac{647}{216} + \dots + \frac{6^n \cdot n - 1}{6^n}. $

2. Найдите сумму $ \left(4 - \frac{1}{4}\right)^2 + \left(4^2 - \frac{1}{4^2}\right)^2 + \left(4^3 - \frac{1}{4^3}\right)^2 + \dots + \left(4^n - \frac{1}{4^n}\right)^2. $

3. Найдите сумму $ \frac{1}{3 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 13} + \frac{1}{13 \cdot 18} + \dots + \frac{1}{(5n - 2) \cdot (5n + 3)}. $

Решение.

1. Обозначим искомую сумму через $S_n$. Общий член ряда имеет вид $a_k = \frac{6^k \cdot k - 1}{6^k}$ для $k = 1, 2, ..., n$.
Преобразуем общий член, разделив числитель на знаменатель:$a_k = \frac{6^k \cdot k}{6^k} - \frac{1}{6^k} = k - (\frac{1}{6})^k$.
Таким образом, сумму можно представить как разность двух сумм:$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (k - (\frac{1}{6})^k) = \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{6})^k$.
Первая сумма, $\sum_{k=1}^{n} k$, является суммой первых $n$ членов арифметической прогрессии (первых $n$ натуральных чисел), которая вычисляется по формуле:$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$.
Вторая сумма, $\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{6})^k$, является суммой первых $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = \frac{1}{6}$ и знаменателем $q = \frac{1}{6}$. Её сумма вычисляется по формуле $S_{geom} = b_1 \frac{1-q^n}{1-q}$:$\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{6})^k = \frac{1}{6} \cdot \frac{1 - (\frac{1}{6})^n}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1 - (\frac{1}{6})^n}{\frac{5}{6}} = \frac{1}{5}(1 - \frac{1}{6^n})$.
Теперь вычтем вторую сумму из первой, чтобы найти итоговый результат:$S_n = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{1}{5}(1 - \frac{1}{6^n})$.
Ответ: $\frac{n(n+1)}{2} - \frac{1}{5}(1 - \frac{1}{6^n})$.

2. Обозначим искомую сумму через $S_n$. Общий член ряда задан формулой $a_k = (4^k - \frac{1}{4^k})^2$ для $k = 1, 2, ..., n$.
Для нахождения суммы раскроем квадрат разности в общем члене:$a_k = (4^k)^2 - 2 \cdot 4^k \cdot \frac{1}{4^k} + (\frac{1}{4^k})^2 = 4^{2k} - 2 + \frac{1}{4^{2k}} = 16^k - 2 + (\frac{1}{16})^k$.
Теперь сумму $S_n$ можно разбить на три отдельные суммы:$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (16^k - 2 + (\frac{1}{16})^k) = \sum_{k=1}^{n} 16^k - \sum_{k=1}^{n} 2 + \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{16})^k$.
Вычислим каждую сумму по отдельности:
1) $\sum_{k=1}^{n} 16^k$ — это сумма геометрической прогрессии с $b_1 = 16$ и $q = 16$:$16 \cdot \frac{16^n-1}{16-1} = \frac{16}{15}(16^n-1)$.
2) $\sum_{k=1}^{n} 2$ — это сумма $n$ слагаемых, каждое из которых равно 2:$2n$.
3) $\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{16})^k$ — это сумма геометрической прогрессии с $c_1 = \frac{1}{16}$ и $r = \frac{1}{16}$:$\frac{1}{16} \cdot \frac{1-(\frac{1}{16})^n}{1-\frac{1}{16}} = \frac{1}{16} \cdot \frac{1-(\frac{1}{16})^n}{\frac{15}{16}} = \frac{1}{15}(1 - \frac{1}{16^n})$.
Объединим результаты:$S_n = \frac{16}{15}(16^n - 1) - 2n + \frac{1}{15}(1 - \frac{1}{16^n})$.
Ответ: $\frac{16}{15}(16^n - 1) - 2n + \frac{1}{15}(1 - \frac{1}{16^n})$.

3. Обозначим искомую сумму через $S_n$. Общий член ряда $a_k = \frac{1}{(5k-2)(5k+3)}$ для $k = 1, 2, ..., n$.
Данный ряд является телескопическим. Чтобы найти его сумму, представим общий член в виде разности двух дробей методом частичных дробей (или методом неопределенных коэффициентов):$\frac{1}{(5k-2)(5k+3)} = \frac{A}{5k-2} + \frac{B}{5k+3}$.
Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем: $1 = A(5k+3) + B(5k-2)$.
Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$, подставим значения $k$, которые обнуляют один из знаменателей:Если $k = \frac{2}{5}$, то $1 = A(5 \cdot \frac{2}{5} + 3) \implies 1 = 5A \implies A = \frac{1}{5}$.
Если $k = -\frac{3}{5}$, то $1 = B(5 \cdot (-\frac{3}{5}) - 2) \implies 1 = -5B \implies B = -\frac{1}{5}$.
Таким образом, общий член ряда можно записать как:$a_k = \frac{1}{5}(\frac{1}{5k-2} - \frac{1}{5k+3})$.
Теперь запишем сумму $S_n$:$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{5}(\frac{1}{5k-2} - \frac{1}{5k+3}) = \frac{1}{5} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{5k-2} - \frac{1}{5k+3})$.
Распишем несколько первых и последний член суммы:$S_n = \frac{1}{5} [(\frac{1}{3} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{13}) + (\frac{1}{13} - \frac{1}{18}) + ... + (\frac{1}{5n-2} - \frac{1}{5n+3})]$.
Как видно, все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются (например, $-\frac{1}{8}$ и $+\frac{1}{8}$). Остаются только первое слагаемое от первого члена и последнее слагаемое от последнего члена:$S_n = \frac{1}{5} (\frac{1}{3} - \frac{1}{5n+3})$.
Упростим полученное выражение:$S_n = \frac{1}{5} (\frac{(5n+3)-3}{3(5n+3)}) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5n}{3(5n+3)} = \frac{n}{3(5n+3)}$.
Ответ: $\frac{n}{3(5n+3)}$.