Номер 31, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 31, страница 60.

Условие.

Самостоятельная работа № 31

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

1. Арифметическая прогрессия ($a_n$) задана формулой n-го члена: $a_n = -4n + 2$. Найдите сумму двадцати пяти первых членов прогрессии.

2. Для любого натурального значения n сумму n первых членов некоторой арифметической прогрессии можно вычислить по формуле $S_n = 2n^2 + 3n$. Найдите первый член и разность этой прогрессии.

3. Четырнадцатый член арифметической прогрессии равен 18. Найдите сумму двадцати семи первых членов прогрессии.

Решение.

1.

Арифметическая прогрессия ($a_n$) задана формулой n-го члена: $a_n = -4n + 2$.

Для нахождения суммы двадцати пяти первых членов прогрессии ($S_{25}$) используется формула суммы арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В данном случае $n = 25$.

Сначала найдем первый член прогрессии, $a_1$, подставив $n=1$ в заданную формулу:

$a_1 = -4(1) + 2 = -4 + 2 = -2$

Затем найдем двадцать пятый член прогрессии, $a_{25}$, подставив $n=25$:

$a_{25} = -4(25) + 2 = -100 + 2 = -98$

Теперь подставим найденные значения $a_1$ и $a_{25}$ в формулу суммы:

$S_{25} = \frac{a_1 + a_{25}}{2} \cdot 25 = \frac{-2 + (-98)}{2} \cdot 25 = \frac{-100}{2} \cdot 25 = -50 \cdot 25 = -1250$

Ответ: -1250

2.

Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии задана формулой $S_n = 2n^2 + 3n$.

Первый член прогрессии, $a_1$, равен сумме одного первого члена, то есть $S_1$.

Найдем $S_1$, подставив $n=1$ в формулу суммы:

$a_1 = S_1 = 2(1)^2 + 3(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5$

Для нахождения разности прогрессии, $d$, нам нужно найти второй член прогрессии, $a_2$.

Сумма двух первых членов, $S_2$, равна $a_1 + a_2$. Найдем $S_2$, подставив $n=2$ в формулу:

$S_2 = 2(2)^2 + 3(2) = 2 \cdot 4 + 6 = 8 + 6 = 14$

Теперь мы можем найти $a_2$, зная, что $S_2 = a_1 + a_2$:

$a_2 = S_2 - a_1 = 14 - 5 = 9$

Разность арифметической прогрессии $d$ равна разнице между последующим и предыдущим членами:

$d = a_2 - a_1 = 9 - 5 = 4$

Таким образом, первый член прогрессии равен 5, а разность равна 4.

Ответ: первый член $a_1 = 5$, разность $d = 4$.

3.

По условию задачи, четырнадцатый член арифметической прогрессии $a_{14} = 18$.

Необходимо найти сумму двадцати семи первых членов прогрессии, $S_{27}$.

Воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

При $n=27$ формула принимает вид:

$S_{27} = \frac{a_1 + a_{27}}{2} \cdot 27$

Выразим сумму первого и двадцать седьмого членов через $a_1$ и разность прогрессии $d$:

$a_1 + a_{27} = a_1 + (a_1 + (27-1)d) = 2a_1 + 26d = 2(a_1 + 13d)$

Формула n-го члена прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Для $n=14$ получаем:

$a_{14} = a_1 + (14-1)d = a_1 + 13d$

Поскольку $a_{14} = 18$, то $a_1 + 13d = 18$.

Подставим это значение в выражение для суммы $a_1 + a_{27}$:

$a_1 + a_{27} = 2(a_1 + 13d) = 2 \cdot a_{14} = 2 \cdot 18 = 36$

Теперь мы можем вычислить $S_{27}$:

$S_{27} = \frac{36}{2} \cdot 27 = 18 \cdot 27 = 486$

Ответ: 486