Номер 25, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 25, страница 58.

Условие.

Самостоятельная работа № 25

Сочетания

1. Упростите выражение

$\frac{16}{n+8} C^{n+7}_{n+9}$

2. Решите в натуральных числах уравнение

$A^2_{x+4} + C^{x+5}_{x+7} = 111$

3. Оркестру требуются скрипачи и флейтисты. На место скрипача претендуют 9 кандидатов, на место флейтиста — 7 кандидатов. Сколько существует вариантов приема в оркестр 4 скрипачей и 3 флейтистов?

4. В шахматном кружке занимается 15 человек. Из них нужно сформировать команду из 6 человек, причём Саша и Вова не могут входить в команду одновременно. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

1.

Для упрощения выражения воспользуемся формулой сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Применим эту формулу к $C_{n+9}^{n+7}$:

$C_{n+9}^{n+7} = \frac{(n+9)!}{(n+7)!((n+9)-(n+7))!} = \frac{(n+9)!}{(n+7)! \cdot 2!}$

Расп_и_шем $(n+9)!$ как $(n+9)(n+8)(n+7)!$ и подставим в выражение:

$C_{n+9}^{n+7} = \frac{(n+9)(n+8)(n+7)!}{(n+7)! \cdot 2} = \frac{(n+9)(n+8)}{2}$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{16}{n+8} \cdot C_{n+9}^{n+7} = \frac{16}{n+8} \cdot \frac{(n+9)(n+8)}{2}$

Сократим $(n+8)$ в числителе и знаменателе, а также 16 и 2:

$\frac{16 \cdot (n+9)}{2} = 8(n+9) = 8n + 72$

Ответ: $8n + 72$.

2.

Для решения уравнения используем формулы для размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Преобразуем каждое слагаемое:

1. $A_{x+4}^2 = \frac{(x+4)!}{(x+4-2)!} = \frac{(x+4)!}{(x+2)!} = (x+4)(x+3) = x^2 + 7x + 12$.

2. $C_{x+7}^{x+5} = \frac{(x+7)!}{(x+5)!((x+7)-(x+5))!} = \frac{(x+7)!}{(x+5)!2!} = \frac{(x+7)(x+6)}{2} = \frac{x^2+13x+42}{2}$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$(x^2 + 7x + 12) + \frac{x^2+13x+42}{2} = 111$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2(x^2 + 7x + 12) + (x^2+13x+42) = 222$

$2x^2 + 14x + 24 + x^2 + 13x + 42 = 222$

Приведём подобные слагаемые:

$3x^2 + 27x + 66 - 222 = 0$

$3x^2 + 27x - 156 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 + 9x - 52 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1$ и $x_2$ должны удовлетворять условиям $x_1 \cdot x_2 = -52$ и $x_1 + x_2 = -9$.

Подбором находим корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -13$.

По условию, $x$ должно быть натуральным числом, поэтому корень $x_2 = -13$ не подходит. Проверим также область определения: для $A_{x+4}^2$ необходимо $x+4 \ge 2 \implies x \ge -2$. Решение $x=4$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x=4$.

3.

Задача решается с помощью комбинаторики. Нам нужно выбрать 4 скрипачей из 9 и 3 флейтистов из 7. Поскольку выбор скрипачей и флейтистов — независимые события, общее число вариантов будет произведением числа вариантов для каждого выбора.

1. Число способов выбрать 4 скрипачей из 9 кандидатов равно числу сочетаний $C_9^4$:

$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 9 \cdot 2 \cdot 7 = 126$ способов.

2. Число способов выбрать 3 флейтистов из 7 кандидатов равно числу сочетаний $C_7^3$:

$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 7 \cdot 5 = 35$ способов.

3. Общее число вариантов приема в оркестр равно произведению этих двух чисел:

$N = C_9^4 \cdot C_7^3 = 126 \cdot 35 = 4410$.

Ответ: 4410.

4.

Эту задачу удобно решать методом исключения. Сначала найдем общее число способов сформировать команду, а затем вычтем из него число "неправильных" способов, то есть тех, где Саша и Вова находятся в команде одновременно.

1. Общее число способов сформировать команду из 6 человек из 15 равно числу сочетаний $C_{15}^6$:

$C_{15}^6 = \frac{15!}{6!(15-6)!} = \frac{15!}{6!9!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 11 = 5005$ способов.

2. Теперь найдем число способов, при которых Саша и Вова окажутся в команде вместе. Если мы заранее включили их в команду, то нам остаётся выбрать ещё $6 - 2 = 4$ человека из оставшихся $15 - 2 = 13$ человек. Число таких способов равно $C_{13}^4$:

$C_{13}^4 = \frac{13!}{4!(13-4)!} = \frac{13!}{4!9!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13 \cdot 11 \cdot 5 = 715$ способов.

3. Чтобы найти число способов, при которых Саша и Вова не входят в команду одновременно, вычтем из общего числа способов число "неправильных" способов:

$N = C_{15}^6 - C_{13}^4 = 5005 - 715 = 4290$.

Ответ: 4290.