Номер 18, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 18, страница 55.

Условие.

Самостоятельная работа № 18

Неравенства между средними величинами.

Неравенство Коши—Буняковского

1. Для положительных чисел $x$ и $y$ докажите неравенство

$\frac{18x}{y} + \frac{y}{8x} \ge 3.$

2. При $b > 5$ докажите неравенство $b + \frac{1}{b - 5} \ge 7.$

3. Известно, что $a^2 + b^2 = 28$, $c^2 + d^2 = 7$. Докажите, что

$|ac - bd| \le 14.$

4. Известно, что $x + y = 1$. Докажите, что

$\sqrt{x^2 + 25y^2} + \sqrt{y^2 + 25x^2} \ge 3\sqrt{2}.$

Решение.

1. Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $a$ и $b$, которое гласит: $a + b \ge 2\sqrt{ab}$.

По условию, числа $x$ и $y$ положительные, следовательно, слагаемые $\frac{18x}{y}$ и $\frac{y}{8x}$ также положительны. Применим к ним неравенство Коши:

$\frac{18x}{y} + \frac{y}{8x} \ge 2\sqrt{\frac{18x}{y} \cdot \frac{y}{8x}}$

Упростим выражение под корнем в правой части неравенства:

$\sqrt{\frac{18x}{y} \cdot \frac{y}{8x}} = \sqrt{\frac{18}{8}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$

Подставим полученное значение обратно в неравенство:

$\frac{18x}{y} + \frac{y}{8x} \ge 2 \cdot \frac{3}{2}$

$\frac{18x}{y} + \frac{y}{8x} \ge 3$

Неравенство доказано.
Ответ: Неравенство доказано.

2. Преобразуем левую часть неравенства, чтобы использовать неравенство Коши. Для этого выделим слагаемое $b-5$.
$b + \frac{1}{b-5} = (b-5) + 5 + \frac{1}{b-5}$

По условию $b > 5$, следовательно, $b-5 > 0$. Таким образом, мы можем применить неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом к положительным числам $a = b-5$ и $c = \frac{1}{b-5}$:
$(b-5) + \frac{1}{b-5} \ge 2\sqrt{(b-5) \cdot \frac{1}{b-5}}$

Упростим правую часть:
$2\sqrt{(b-5) \cdot \frac{1}{b-5}} = 2\sqrt{1} = 2$

Таким образом, мы получили, что $(b-5) + \frac{1}{b-5} \ge 2$.

Вернемся к исходному выражению:
$b + \frac{1}{b-5} = \left((b-5) + \frac{1}{b-5}\right) + 5 \ge 2 + 5 = 7$

Следовательно, $b + \frac{1}{b-5} \ge 7$.
Ответ: Неравенство доказано.

3. Для доказательства воспользуемся неравенством Коши-Буняковского. Для двух пар чисел $(a, b)$ и $(c, d)$ оно записывается в виде $(ac+bd)^2 \le (a^2+b^2)(c^2+d^2)$.

Чтобы получить в левой части выражение $ac-bd$, применим неравенство к парам чисел $(a, b)$ и $(c, -d)$:
$(a \cdot c + b \cdot (-d))^2 \le (a^2+b^2)(c^2+(-d)^2)$

$(ac - bd)^2 \le (a^2+b^2)(c^2+d^2)$

Подставим известные значения $a^2+b^2=28$ и $c^2+d^2=7$:
$(ac - bd)^2 \le 28 \cdot 7$
$(ac - bd)^2 \le 196$

Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получаем:
$\sqrt{(ac - bd)^2} \le \sqrt{196}$
$|ac - bd| \le 14$

Неравенство доказано.
Ответ: Неравенство доказано.

4. Для доказательства этого неравенства воспользуемся неравенством Минковского (неравенство треугольника для векторов). Для векторов $\vec{u}=(u_1, u_2)$ и $\vec{v}=(v_1, v_2)$ оно имеет вид: $\sqrt{u_1^2+u_2^2} + \sqrt{v_1^2+v_2^2} \ge \sqrt{(u_1+v_1)^2+(u_2+v_2)^2}$.

Представим левую часть исходного неравенства как сумму длин (норм) двух векторов $\vec{a}=(x, 5y)$ и $\vec{b}=(y, 5x)$: $\sqrt{x^2+(5y)^2} + \sqrt{y^2+(5x)^2} = ||\vec{a}|| + ||\vec{b}||$

Согласно неравенству Минковского: $||\vec{a}|| + ||\vec{b}|| \ge ||\vec{a}+\vec{b}||$

Найдем сумму векторов $\vec{a}+\vec{b}$: $\vec{a}+\vec{b} = (x+y, 5y+5x) = (x+y, 5(x+y))$

Теперь найдем длину (норму) этого вектора: $||\vec{a}+\vec{b}|| = \sqrt{(x+y)^2 + (5(x+y))^2} = \sqrt{(x+y)^2 + 25(x+y)^2} = \sqrt{26(x+y)^2} = \sqrt{26}|x+y|$

По условию $x+y=1$, поэтому $|x+y|=1$. Подставим это значение: $||\vec{a}+\vec{b}|| = \sqrt{26} \cdot 1 = \sqrt{26}$

Таким образом, мы доказали, что: $\sqrt{x^2 + 25y^2} + \sqrt{y^2 + 25x^2} \ge \sqrt{26}$

Осталось сравнить полученный результат с правой частью исходного неравенства, то есть с $3\sqrt{2}$. Для этого сравним их квадраты:
$(\sqrt{26})^2 = 26$
$(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

Поскольку $26 > 18$, то $\sqrt{26} > 3\sqrt{2}$.

Следовательно, $\sqrt{x^2 + 25y^2} + \sqrt{y^2 + 25x^2} \ge \sqrt{26} > 3\sqrt{2}$, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.