Номер 23, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 23, страница 57.

Условие.

Самостоятельная работа № 23

Основные правила комбинаторики.

Перестановки

1. Сколькими способами можно распределить 11 водителей по 11 автомобилям?

$11!$

2. Сколько семизначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

$7 \times P(7,6)$

3. Сколько нечётных семизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы в каждом числе цифры были различными?

$4 \times 6!$

4. В магазине есть 9 различных фарфоровых ваз, 5 различных хрустальных ваз и 7 различных керамических ваз. Сколькими способами их можно расставить на полке так, чтобы все фарфоровые вазы стояли рядом, все хрустальные вазы стояли рядом и все керамические вазы стояли рядом?

$3! \times 9! \times 5! \times 7!$

Решение.

1. Эта задача о распределении 11 различных водителей по 11 различным автомобилям. Каждому водителю должен соответствовать один автомобиль, и наоборот. Это является классической задачей на перестановки.
Первого водителя можно посадить в любой из 11 автомобилей (11 вариантов).
Второго водителя — в любой из оставшихся 10 автомобилей (10 вариантов).
Третьего — в любой из оставшихся 9, и так далее, пока последний водитель не займет последний оставшийся автомобиль.
Общее число способов равно произведению числа вариантов на каждом шаге. Это число перестановок из 11 элементов, которое вычисляется как факториал числа 11.
Формула для числа перестановок из $n$ элементов: $P_n = n!$.
В данном случае $n = 11$.
$P_{11} = 11! = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 39 \, 916 \, 800$.
Ответ: $39 \, 916 \, 800$ способов.

2. Необходимо составить семизначное число, используя цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Всего у нас 8 цифр. Поскольку не указано, что цифры не должны повторяться, мы предполагаем, что повторения разрешены.
Семизначное число состоит из 7 позиций (разрядов).
На первую (старшую) позицию нельзя ставить 0, иначе число не будет семизначным. Таким образом, для первой позиции есть 7 вариантов (любая цифра от 1 до 7).
На каждую из следующих шести позиций (со второй по седьмую) можно поставить любую из 8 доступных цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).
Таким образом, для второй позиции есть 8 вариантов, для третьей — 8, и так далее до седьмой позиции.
По правилу произведения, общее количество таких чисел равно:
$N = 7 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 7 \cdot 8^6$.
Вычислим значение: $8^6 = 262 \, 144$.
$N = 7 \cdot 262 \, 144 = 1 \, 835 \, 008$.
Ответ: $1 \, 835 \, 008$ чисел.

3. Нужно составить нечётное семизначное число из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, причём все цифры в числе должны быть различны.
Всего дано 7 цифр. Так как число семизначное и все цифры различны, то в каждом числе будут использованы все 7 данных цифр.
Число является нечётным, если его последняя цифра — нечётная. В нашем наборе {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} нечётными являются цифры {1, 3, 5, 7}.
Следовательно, на последнюю позицию (разряд единиц) можно поставить одну из этих 4 цифр. Количество вариантов для последней цифры — 4.
После того как мы выбрали последнюю цифру, у нас остаётся 6 цифр. Эти 6 цифр нужно расставить на оставшиеся 6 позиций. Число способов сделать это равно числу перестановок из 6 элементов, то есть $P_6 = 6!$.
$6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$.
По правилу произведения, общее число нечётных семизначных чисел равно произведению числа вариантов для последней цифры на число перестановок для остальных цифр.
$N = 4 \cdot 6! = 4 \cdot 720 = 2880$.
Ответ: $2880$ чисел.

4. В магазине есть 9 различных фарфоровых ваз, 5 различных хрустальных ваз и 7 различных керамических ваз. Их нужно расставить на полке так, чтобы вазы одного вида стояли рядом.
Рассмотрим каждую группу ваз одного вида как единый блок.
Блок 1: Фарфоровые вазы (9 штук).
Блок 2: Хрустальные вазы (5 штук).
Блок 3: Керамические вазы (7 штук).
Сначала найдём, сколькими способами можно расположить эти три блока на полке. Это задача на перестановку 3-х элементов. Число таких перестановок равно $P_3 = 3!$.
$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.
Теперь рассмотрим расстановку ваз внутри каждого блока.
Внутри блока фарфоровых ваз можно переставить 9 различных ваз $9!$ способами.
Внутри блока хрустальных ваз можно переставить 5 различных ваз $5!$ способами.
Внутри блока керамических ваз можно переставить 7 различных ваз $7!$ способами.
По правилу произведения, общее число способов расстановки ваз равно произведению числа способов расстановки блоков и числа способов расстановки ваз внутри каждого блока.
$N = 3! \cdot 9! \cdot 5! \cdot 7!$.
Вычислим значения факториалов:
$3! = 6$
$9! = 362 \, 880$
$5! = 120$
$7! = 5 \, 040$
$N = 6 \cdot 362 \, 880 \cdot 120 \cdot 5 \, 040 = 1 \, 316 \, 818 \, 944 \, 000$.
Ответ: $3! \cdot 9! \cdot 5! \cdot 7!$ ($1 \, 316 \, 818 \, 944 \, 000$) способов.