Номер 20, страница 56 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 20, страница 56.

Условие.

Самостоятельная работа № 20 Процентные расчёты

1. После двух последовательных повышений цены на 20% стол стал стоить 2160 р. Найдите первоначальную цену стола.

2. Сплав меди и олова массой 60 кг содержит 35% олова. Сколько олова надо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 40% олова?

3. Вкладчик положил в банк 50 000 р. За первый год ему был начислен некоторый процент годовых, а во второй год банковская ставка была увеличена на 3%. В конце второго года на счёте оказалось 67 850 р. Сколько процентов составляла банковская ставка в первый год?

Решение.

1.

Пусть $x$ — первоначальная цена стола в рублях.

После первого повышения цены на 20% новая цена составила $100\% + 20\% = 120\%$ от первоначальной, то есть $x \times 1.2 = 1.2x$.

Затем цена была повышена ещё на 20% уже от новой цены. Итоговая цена составила $120\%$ от цены после первого повышения:
$(1.2x) \times 1.2 = 1.44x$.

По условию, итоговая цена стола равна 2160 р. Составим и решим уравнение:
$1.44x = 2160$
$x = 2160 / 1.44$
$x = 216000 / 144$
$x = 1500$

Таким образом, первоначальная цена стола составляла 1500 рублей.

Ответ: 1500 р.

2.

1. Найдем массу олова и меди в первоначальном сплаве.
Масса всего сплава: 60 кг.
Процентное содержание олова: 35%.
Масса олова в сплаве: $60 \times (35 / 100) = 60 \times 0.35 = 21$ кг.
Масса меди в сплаве: $60 - 21 = 39$ кг.

2. Пусть $x$ — масса олова (в кг), которую необходимо добавить к сплаву. После добавления олова масса сплава станет $(60 + x)$ кг, а масса олова в нём — $(21 + x)$ кг. Масса меди при этом не изменится.

3. В новом сплаве содержание олова должно составлять 40%. Это означает, что масса олова будет составлять 40% от общей массы нового сплава. Составим уравнение:
$(21 + x) / (60 + x) = 40 / 100$
$(21 + x) / (60 + x) = 0.4$

4. Решим полученное уравнение:
$21 + x = 0.4 \times (60 + x)$
$21 + x = 24 + 0.4x$
$x - 0.4x = 24 - 21$
$0.6x = 3$
$x = 3 / 0.6$
$x = 5$

Следовательно, к сплаву необходимо добавить 5 кг олова.

Ответ: 5 кг.

3.

Пусть $p$ — банковская ставка в первый год в процентах. Тогда коэффициент, на который увеличивается сумма вклада за первый год, равен $(1 + p/100)$.

Сумма на счёте после первого года:
$S_1 = 50000 \times (1 + p/100)$

Во второй год банковская ставка была увеличена на 3%, то есть стала равна $(p + 3)\%$. Коэффициент увеличения за второй год равен $(1 + (p+3)/100)$.

Сумма на счёте после второго года:
$S_2 = S_1 \times (1 + (p+3)/100) = 50000 \times (1 + p/100) \times (1 + (p+3)/100)$

По условию, в конце второго года на счёте оказалось 67 850 р. Составим уравнение:
$50000 \times (1 + p/100) \times (1 + (p+3)/100) = 67850$

Разделим обе части на 50000:
$(1 + p/100) \times (1 + p/100 + 3/100) = 67850 / 50000$
$(1 + p/100) \times (1 + p/100 + 0.03) = 1.357$

Сделаем замену. Пусть $x = 1 + p/100$. Тогда уравнение примет вид:
$x \times (x + 0.03) = 1.357$
$x^2 + 0.03x - 1.357 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 0.03^2 - 4 \times 1 \times (-1.357) = 0.0009 + 5.428 = 5.4289$
$\sqrt{D} = \sqrt{5.4289} = 2.33$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = (-0.03 + 2.33) / 2 = 2.3 / 2 = 1.15$
$x_2 = (-0.03 - 2.33) / 2 = -2.36 / 2 = -1.18$

Так как $x = 1 + p/100$ и процентная ставка $p$ не может быть отрицательной, коэффициент $x$ должен быть положительным. Следовательно, подходит только корень $x_1 = 1.15$.

Вернемся к замене:
$1 + p/100 = 1.15$
$p/100 = 1.15 - 1$
$p/100 = 0.15$
$p = 15$

Таким образом, банковская ставка в первый год составляла 15%.

Ответ: 15%.