Номер 15, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 15, страница 54.

Условие.

Самостоятельная работа № 15

Неравенства с двумя переменными

Постройте график неравенства:

1) $y \le -x^2 + x + 6;$

2) $xy > 8;$

3) $(3x - y - 2)(x + y - 4) < 0;$

4) $\frac{y - \frac{1}{2}x^2}{|y - 2|} < 0.$

Решение.

1) $y \le -x^2 + x + 6$

Для построения графика данного неравенства сначала построим график соответствующего уравнения $y = -x^2 + x + 6$. Это уравнение задает параболу.

1. Определение направления ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), следовательно, ветви параболы направлены вниз.

2. Нахождение вершины параболы. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2} = 0.5$. $y_0 = -(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} + 6 = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{24}{4} = \frac{25}{4} = 6.25$. Вершина параболы находится в точке $(0.5, 6.25)$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат. - С осью OY (x=0): $y = -0^2 + 0 + 6 = 6$. Точка пересечения $(0, 6)$. - С осью OX (y=0): $-x^2 + x + 6 = 0$, или $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$. Точки пересечения $(-2, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Построение графика. Так как неравенство нестрогое ($\le$), парабола рисуется сплошной линией.

5. Определение области решения. Неравенство $y \le -x^2 + x + 6$ означает, что искомые точки лежат на параболе или ниже неё. Для проверки можно взять контрольную точку, не лежащую на параболе, например, начало координат $(0, 0)$. Подставляем ее в неравенство: $0 \le -0^2 + 0 + 6$, что дает $0 \le 6$. Это верное неравенство, значит, область, содержащая точку $(0, 0)$, является решением.

Таким образом, решением неравенства является область, расположенная ниже параболы, включая саму параболу.

Ответ: Графиком неравенства является область, ограниченная сверху параболой $y = -x^2 + x + 6$, включая саму параболу.

2) $xy > 8$

Рассмотрим граничное уравнение $xy = 8$, или $y = \frac{8}{x}$. Это уравнение задает гиперболу с ветвями в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.

Так как неравенство строгое ($>$), то гипербола рисуется пунктирной линией. Неравенство $xy > 8$ можно проанализировать в разных четвертях:

1. Если $x > 0$ (I и IV четверти), то, разделив на $x$, получим $y > \frac{8}{x}$. Это область, расположенная выше ветви гиперболы в I четверти. В IV четверти $y < 0$, поэтому произведение $xy$ будет отрицательным и не может быть больше 8.

2. Если $x < 0$ (II и III четверти), то, разделив на $x$, знак неравенства меняется на противоположный: $y < \frac{8}{x}$. Это область, расположенная ниже ветви гиперболы в III четверти. Во II четверти $y > 0$, поэтому произведение $xy$ будет отрицательным и не может быть больше 8.

Для проверки можно взять контрольные точки: - Точка $(3, 3)$ из I четверти: $3 \cdot 3 = 9 > 8$. Верно. - Точка $(-4, -3)$ из III четверти: $(-4) \cdot (-3) = 12 > 8$. Верно. - Точка $(1, 1)$: $1 \cdot 1 = 1 > 8$. Неверно.

Таким образом, решением является объединение двух областей: области в I четверти над гиперболой и области в III четверти под гиперболой.

Ответ: Графиком неравенства являются две области: область в первой координатной четверти, расположенная выше ветви гиперболы $y = 8/x$, и область в третьей координатной четверти, расположенная ниже ветви гиперболы $y = 8/x$. Границы не включаются.

3) $(3x - y - 2)(x + y - 4) < 0$

Произведение двух множителей отрицательно, когда они имеют разные знаки. Это равносильно совокупности двух систем неравенств:

Система А: $\begin{cases} 3x - y - 2 > 0 \\ x + y - 4 < 0 \end{cases}$ или Система Б: $\begin{cases} 3x - y - 2 < 0 \\ x + y - 4 > 0 \end{cases}$

Границами областей являются прямые $3x - y - 2 = 0$ (то есть $y = 3x - 2$) и $x + y - 4 = 0$ (то есть $y = -x + 4$). Поскольку неравенство строгое ($<$), обе прямые рисуются пунктирными линиями.

Эти прямые пересекаются и делят плоскость на четыре области. Решением будут две из них (вертикальные углы).

Решим системы: - Система А: $\begin{cases} y < 3x - 2 \\ y < -x + 4 \end{cases}$. Решением является область, лежащая одновременно ниже прямой $y=3x-2$ и ниже прямой $y=-x+4$. - Система Б: $\begin{cases} y > 3x - 2 \\ y > -x + 4 \end{cases}$. Решением является область, лежащая одновременно выше прямой $y=3x-2$ и выше прямой $y=-x+4$.

Объединение решений этих двух систем является графиком исходного неравенства. Это две непересекающиеся открытые области.

Ответ: Графиком неравенства являются две открытые области (вертикальные углы), ограниченные пунктирными прямыми $y = 3x - 2$ и $y = -x + 4$. Одна область находится "выше" обеих прямых, а другая "ниже" обеих прямых.

4) $\frac{y - \frac{1}{2}x^2}{|y - 2|} < 0$

Рассмотрим данное неравенство. 1. ОДЗ (Область допустимых значений): Знаменатель дроби не может быть равен нулю. $|y - 2| \ne 0$, следовательно, $y \ne 2$. Это означает, что прямая $y=2$ не входит в решение и должна быть исключена из графика (изображается пунктиром).

2. Анализ знаков: Знаменатель $|y - 2|$ всегда положителен при $y \ne 2$. Чтобы вся дробь была отрицательной, числитель должен быть отрицательным. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе: $\begin{cases} y - \frac{1}{2}x^2 < 0 \\ y \ne 2 \end{cases}$

3. Решение основного неравенства: Решим неравенство $y - \frac{1}{2}x^2 < 0$, что эквивалентно $y < \frac{1}{2}x^2$.

4. Построение графика: - Границей является парабола $y = \frac{1}{2}x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. - Поскольку неравенство строгое ($<$), парабола рисуется пунктирной линией. - Решением неравенства $y < \frac{1}{2}x^2$ является область, расположенная ниже этой параболы. - Из полученной области необходимо исключить все точки, лежащие на прямой $y=2$.

Итоговое решение — это все точки под параболой $y = \frac{1}{2}x^2$, за вычетом точек на самой параболе и на прямой $y=2$.

Ответ: Графиком неравенства является область, расположенная под параболой $y = \frac{1}{2}x^2$, из которой исключены точки самой параболы и точки горизонтальной прямой $y = 2$.