Номер 8, страница 51 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 8, страница 51.

Условие.

Самостоятельная работа № 8

Решение квадратных неравенств

1. Решите неравенство:

1) $x^2 - 4x - 96 > 0$

2) $-4x^2 + 3x - 5 > 0$

3) $49x^2 + 14x + 1 > 0$

2. Найдите область определения функции

$y = \frac{5x - 4}{\sqrt{x^2 + x - 42}} + \sqrt{40 - 5x}.$

3. Решите неравенство $|x^2 - 10| > x + 10.$

4. При каких значениях параметра $a$ неравенство $ax^2 - 2ax + a - 9 > 0$ не имеет решений?

Решение.

1) Для решения неравенства $x^2 - 4x - 96 > 0$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 96 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{400}}{2} = \frac{4 - 20}{2} = -8$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 20}{2} = 12$.
Графиком функции $y = x^2 - 4x - 96$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Значения функции больше нуля при $x$ за пределами корней.
Ответ: $(-\infty; -8) \cup (12; \infty)$.

2) Рассмотрим неравенство $-4x^2 + 3x - 5 > 0$.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $y = -4x^2 + 3x - 5$:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-5) = 9 - 80 = -71$.
Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент $a = -4$ отрицателен, ветви параболы направлены вниз, и вся парабола находится ниже оси абсцисс. Это означает, что квадратный трехчлен принимает только отрицательные значения при любом $x$.
Следовательно, неравенство $-4x^2 + 3x - 5 > 0$ не имеет решений.
Ответ: решений нет.

3) Неравенство $49x^2 + 14x + 1 > 0$ можно представить в виде, используя формулу квадрата суммы: $(7x + 1)^2 > 0$.
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(7x+1)^2 \geq 0$ при любом $x$.
Неравенство будет выполняться для всех значений $x$, кроме тех, при которых выражение равно нулю.
$(7x+1)^2 = 0 \implies 7x + 1 = 0 \implies x = -1/7$.
Таким образом, решение неравенства — это все действительные числа, кроме $x = -1/7$.
Ответ: $(-\infty; -1/7) \cup (-1/7; \infty)$.

2. Область определения функции $y = \frac{5x - 4}{\sqrt{x^2 + x - 42}} + \sqrt{40 - 5x}$ находится из системы неравенств:
$\begin{cases} x^2 + x - 42 > 0 \\ 40 - 5x \geq 0 \end{cases}$
1. Решим первое неравенство: $x^2 + x - 42 > 0$. Корни уравнения $x^2 + x - 42 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -7$ и $x_2 = 6$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; -7) \cup (6; \infty)$.
2. Решим второе неравенство: $40 - 5x \geq 0 \implies 40 \geq 5x \implies 8 \geq x$, или $x \leq 8$. Решение: $x \in (-\infty; 8]$.
3. Найдем пересечение полученных решений: $( (-\infty; -7) \cup (6; \infty) ) \cap (-\infty; 8]$.
Пересечение дает объединение интервалов $(-\infty; -7)$ и $(6; 8]$.
Ответ: $(-\infty; -7) \cup (6; 8]$.

3. Для решения неравенства $|x^2 - 10| > x + 10$ рассмотрим два случая.
Случай 1: $x^2 - 10 \geq 0$, то есть $x \in (-\infty; -\sqrt{10}] \cup [\sqrt{10}; \infty)$.
В этом случае модуль раскрывается со знаком плюс: $x^2 - 10 > x + 10 \implies x^2 - x - 20 > 0$.
Корни уравнения $x^2 - x - 20 = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 5$.
Решение неравенства $x^2 - x - 20 > 0$: $x \in (-\infty; -4) \cup (5; \infty)$.
Учитывая условие этого случая, получаем решение: $(-\infty; -4) \cup (5; \infty)$ (так как $-4 < -\sqrt{10}$ и $5 > \sqrt{10}$).
Случай 2: $x^2 - 10 < 0$, то есть $x \in (-\sqrt{10}; \sqrt{10})$.
В этом случае модуль раскрывается со знаком минус: $-(x^2 - 10) > x + 10 \implies 10 - x^2 > x + 10 \implies -x^2 - x > 0 \implies x^2 + x < 0 \implies x(x+1) < 0$.
Решение этого неравенства: $x \in (-1; 0)$.
Данный интервал полностью содержится в условии $x \in (-\sqrt{10}; \sqrt{10})$, поэтому он является решением для второго случая.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $(-\infty; -4) \cup (-1; 0) \cup (5; \infty)$.

4. Неравенство $ax^2 - 2ax + a - 9 > 0$ не имеет решений тогда и только тогда, когда для всех действительных $x$ выполняется противоположное неравенство: $ax^2 - 2ax + a - 9 \leq 0$.
Рассмотрим два случая для параметра $a$.
Случай 1: $a=0$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 - 2 \cdot 0 \cdot x + 0 - 9 \leq 0$, что упрощается до $-9 \leq 0$. Это неравенство верно для любого $x$. Следовательно, при $a=0$ исходное неравенство не имеет решений.
Случай 2: $a \neq 0$.
В этом случае $f(x) = ax^2 - 2ax + a - 9$ является квадратичной функцией. Чтобы неравенство $f(x) \leq 0$ выполнялось для всех $x$, необходимо, чтобы парабола $y = f(x)$ была направлена ветвями вниз и не имела точек выше оси Ox. Это требует одновременного выполнения двух условий:
1. Старший коэффициент должен быть отрицательным: $a < 0$.
2. Дискриминант должен быть неположительным: $D \leq 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-2a)^2 - 4a(a - 9) = 4a^2 - 4a^2 + 36a = 36a$.
Условие $D \leq 0$ дает нам $36a \leq 0$, откуда $a \leq 0$.
Совмещая оба условия для второго случая ($a < 0$ и $a \leq 0$), получаем $a < 0$.
Объединяя результаты обоих случаев ($a=0$ и $a<0$), получаем итоговое множество значений параметра $a$.
Ответ: $(-\infty; 0]$.