Номер 6, страница 51 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 6, страница 51.

Условие.

Самостоятельная работа № 6

Построение графиков функций $y = f(|x|)$ и $y = |f(x)|$

1. Постройте график функции:

1) $y = |\sqrt{x - 6}|$;

2) $y = \sqrt{|x| - 6}$;

3) $y = \sqrt{x - 6}$;

4) $y = |\sqrt{x - 6} - 6|$.

2. Функция $f$ такова, что $D(f) = [-4; 2)$ и $E(f) = [-8; 2)$. Найдите область определения и область значений функции $|f(|x|)|$.

3. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|3|x| - 2| = a - x$ имеет три корня?

Решение.

1. Постройте график функции:

1) $y = |\sqrt{x} - 6|$

Построение графика этой функции выполняется в несколько шагов, начиная с основного графика $y = \sqrt{x}$.

1. Строим график функции $y_1 = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, выходящая из точки (0, 0) и идущая вправо вверх. Область определения: $x \ge 0$.
2. Смещаем график $y_1 = \sqrt{x}$ на 6 единиц вниз по оси OY, чтобы получить график функции $y_2 = \sqrt{x} - 6$. Начальная точка графика смещается в (0, -6). График пересекает ось OX в точке, где $y_2=0$, то есть $\sqrt{x} = 6$, откуда $x = 36$.
3. Применяем операцию взятия модуля ко всей функции: $y = |y_2| = |\sqrt{x} - 6|$. Это означает, что часть графика $y_2$, которая находится ниже оси OX (где $y_2 < 0$), симметрично отражается относительно оси OX. Часть графика, которая находится выше или на оси OX, остается без изменений.
   • Часть графика на интервале $x \in [0, 36)$ находится ниже оси OX. Она отражается вверх. Точка (0, -6) переходит в (0, 6).
   • Часть графика при $x \ge 36$ остается на месте.

Итоговый график начинается в точке (0, 6), опускается до точки (36, 0), а затем поднимается вверх, повторяя форму ветви параболы.

2) $y = \sqrt{|x|} - 6$

Эта функция является четной, так как $y(-x) = \sqrt{|-x|} - 6 = \sqrt{|x|} - 6 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY.

1. Сначала строим график для $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{x} - 6$. Этот график нам уже знаком из предыдущего пункта. Он начинается в точке (0, -6) и идет вправо вверх, пересекая ось OX в точке (36, 0).
2. Затем, используя свойство четности, отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси OY, чтобы получить часть графика для $x < 0$.

Итоговый график имеет V-образную форму с кривыми ветвями. Вершина находится в точке (0, -6). График пересекает ось OX в точках (-36, 0) и (36, 0).

3) $y = \sqrt{|x - 6|}$

Построение этого графика также можно разбить на шаги.

1. Строим график функции $y_1 = \sqrt{|x|}$. Для $x \ge 0$ это $y = \sqrt{x}$, а для $x < 0$ это $y = \sqrt{-x}$ (что является отражением $y=\sqrt{x}$ относительно оси OY). График $y_1$ представляет собой две ветви, выходящие из точки (0, 0).
2. Чтобы получить график $y = \sqrt{|x - 6|} = y_1(x-6)$, мы смещаем график $y_1 = \sqrt{|x|}$ на 6 единиц вправо по оси OX.

В результате получается график, симметричный относительно прямой $x=6$. Его самая нижняя точка (вершина) находится в (6, 0). График состоит из двух ветвей: $y = \sqrt{x-6}$ при $x \ge 6$ и $y = \sqrt{6-x}$ при $x < 6$.

4) $y = \sqrt{|x - 6|} - 6$

Этот график получается из графика предыдущей функции.

1. Берем график функции $y_1 = \sqrt{|x - 6|}$, который мы построили в пункте 3).
2. Смещаем этот график на 6 единиц вниз по оси OY.

Вершина графика смещается из точки (6, 0) в точку (6, -6). График по-прежнему симметричен относительно прямой $x=6$. Он пересекает ось OX, когда $\sqrt{|x-6|} - 6 = 0$, то есть $|x-6| = 36$. Это дает два решения: $x-6=36 \Rightarrow x=42$ и $x-6=-36 \Rightarrow x=-30$. Точки пересечения с осью OX: (-30, 0) и (42, 0).

2. Функция $f$ такова, что $D(f) = [-4; 2]$ и $E(f) = [-8; 2]$. Найдите область определения и область значений функции $|f(|x|)|$.

Обозначим новую функцию как $g(x) = |f(|x|)|$.

Область определения функции $g(x)$ ($D(g)$):

Функция $g(x)$ определена, если ее аргумент принадлежит области определения функции $f$. Аргументом для $f$ является выражение $|x|$.
Следовательно, должно выполняться условие: $|x| \in D(f)$, то есть $|x| \in [-4; 2]$.
Это двойное неравенство можно разбить на два:

• $|x| \ge -4$. Это неравенство верно для любого действительного числа $x$, так как модуль всегда неотрицателен.
• $|x| \le 2$. Это неравенство равносильно $-2 \le x \le 2$.

Пересечением этих условий является отрезок $[-2; 2]$.
Таким образом, область определения функции $g(x)$ есть $D(g) = [-2; 2]$.

Область значений функции $g(x)$ ($E(g)$):

1. Найдем, какие значения принимает аргумент функции $f$, то есть $|x|$. Когда $x$ пробегает область определения $D(g) = [-2; 2]$, выражение $t = |x|$ принимает все значения из отрезка $[0; 2]$.

2. Теперь нужно найти, какие значения принимает функция $f(t)$ для $t \in [0; 2]$. Обозначим это множество значений как $S = \{f(t) \mid t \in [0; 2]\}$. Так как $[0; 2]$ является частью области определения $D(f) = [-4; 2]$, то множество $S$ является подмножеством области значений $E(f) = [-8; 2]$, то есть $S \subseteq [-8; 2]$.

3. Так как вид функции $f$ не задан, мы не можем точно определить множество $S$. В таких задачах обычно предполагается, что функция $f$ может достигать всех своих значений из $E(f)$ на рассматриваемом участке области определения. Примем, что на отрезке $[0; 2]$ функция $f$ принимает все значения из $E(f) = [-8; 2]$. Таким образом, $S = [-8; 2]$.

4. Искомая область значений $E(g)$ — это множество значений выражения $|y|$ для всех $y \in S$. То есть, нам нужно найти множество $\{|y| \mid y \in [-8; 2]\}$.
Если $y$ принимает значения от -8 до 2, то $|y|$ будет принимать значения от 0 до 8. Наибольшее значение модуля будет $|-8|=8$, а наименьшее — $|0|=0$.
Следовательно, область значений функции $g(x)$ есть $E(g) = [0; 8]$.

Ответ: Область определения: $D(g) = [-2; 2]$; область значений: $E(g) = [0; 8]$.

3. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|3|x| - 2| = a - x$ имеет три корня?

Решим эту задачу графически. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $y = |3|x| - 2|$ и $y = a - x$.

1. Построим график функции $y_1 = |3|x| - 2|$.

• Сначала строим график $y = 3|x| - 2$. Это четная функция. Для $x \ge 0$, $y=3x-2$ (луч, выходящий из точки (0,-2) вправо-вверх). Для $x < 0$, $y=-3x-2$ (луч, выходящий из (0,-2) влево-вверх). График имеет V-образную форму с вершиной в (0, -2). Он пересекает ось OX в точках $x = \pm 2/3$.
• Далее, применяем внешний модуль: $y = |3|x| - 2|$. Часть графика, лежащая ниже оси OX (на интервале $(-2/3, 2/3)$), отражается симметрично относительно оси OX. Вершина (0, -2) переходит в точку (0, 2).
• Итоговый график $y_1$ имеет W-образную форму с вершинами в точках $(-2/3, 0)$, $(0, 2)$ и $(2/3, 0)$.

2. Рассмотрим семейство функций $y_2 = a - x$.

Это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом (наклоном) $k = -1$. Параметр $a$ отвечает за сдвиг прямой вдоль оси OY (является y-пересечением).

3. Найдем значения $a$, при которых графики пересекаются в трех точках.

Будем мысленно перемещать прямую $y = a-x$ вверх и вниз и считать количество точек пересечения. Количество точек меняется, когда прямая проходит через "изломы" (вершины) W-образного графика.

• Случай 1: Прямая проходит через центральную вершину (0, 2).
  Подставим координаты точки в уравнение прямой: $2 = a - 0 \Rightarrow a = 2$.
  При $a=2$ прямая $y = 2-x$ проходит через точку (0, 2). Найдем другие точки пересечения:
  • При $x > 2/3$: $3x-2 = 2-x \Rightarrow 4x=4 \Rightarrow x=1$. Точка (1, 1).
  • При $x < -2/3$: $-3x-2 = 2-x \Rightarrow -2x=4 \Rightarrow x=-2$. Точка (-2, 4).
  Всего получаем 3 точки пересечения. Значит, $a=2$ является решением.
• Случай 2: Прямая проходит через правую вершину $(2/3, 0)$.
  Подставим координаты точки в уравнение прямой: $0 = a - 2/3 \Rightarrow a = 2/3$.
  При $a=2/3$ прямая $y = 2/3-x$ проходит через точку $(2/3, 0)$. Найдем другие точки пересечения:
  • При $x < -2/3$: $-3x-2 = 2/3-x \Rightarrow -2x = 8/3 \Rightarrow x=-4/3$. Точка (-4/3, 2).
  • При $-2/3 < x < 0$: $3x+2 = 2/3-x \Rightarrow 4x = -4/3 \Rightarrow x=-1/3$. Точка (-1/3, 1).
  Всего получаем 3 точки пересечения. Значит, $a=2/3$ является решением.
• Случай 3: Прямая проходит через левую вершину $(-2/3, 0)$.
  Подставим координаты: $0 = a - (-2/3) \Rightarrow a = -2/3$.
  При $a=-2/3$ прямая $y = -2/3-x$ пересекает график только в одной этой точке. (Можно проверить, решив уравнения на других участках).

Если $a > 2$, будет 2 корня. Если $2/3 < a < 2$, будет 4 корня. Если $-2/3 < a < 2/3$, будет 2 корня. Если $a < -2/3$, корней не будет.

Таким образом, уравнение имеет ровно три корня при двух значениях параметра $a$.

Ответ: $a = 2/3$ и $a = 2$.