Номер 10, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 10, страница 52.

Условие.

Самостоятельная работа № 10

Расположение нулей квадратичной функции относительно данной точки

1. При каких значениях параметра $a$ все корни уравнения $x^2 - (6a - 5) x - 30a = 0$ принадлежат промежутку $(-6; 1)$?

2. Найдите все значения параметра $a$, при которых один из корней квадратного уравнения $ax^2 - x + 5 = 0$ больше $-2$, а другой меньше $-2$.

3. При каких значениях параметра $a$ корни уравнения $x^2 + (2a + 6) x + a^2 - 6a + 8 = 0$ являются отрицательными числами?

Решение.

1. При каких значениях параметра a все корни уравнения $x^2 - (6a - 5)x - 30a = 0$ принадлежат промежутку $(-6; 1)$?

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 - (6a - 5)x - 30a = 0$. Для начала найдем его дискриминант $D$:

$D = (-(6a - 5))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30a) = (6a - 5)^2 + 120a = 36a^2 - 60a + 25 + 120a = 36a^2 + 60a + 25$.

Заметим, что полученное выражение является полным квадратом: $36a^2 + 60a + 25 = (6a + 5)^2$. Так как $D = (6a + 5)^2 \ge 0$ при любых действительных значениях $a$, уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем корни уравнения по формуле:

$x_{1,2} = \frac{(6a - 5) \pm \sqrt{(6a + 5)^2}}{2} = \frac{(6a - 5) \pm (6a + 5)}{2}$.

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = \frac{6a - 5 + 6a + 5}{2} = \frac{12a}{2} = 6a$

$x_2 = \frac{6a - 5 - (6a + 5)}{2} = \frac{6a - 5 - 6a - 5}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

По условию задачи, оба корня должны принадлежать промежутку $(-6; 1)$. Корень $x_2 = -5$ удовлетворяет этому условию, так как $-6 < -5 < 1$. Теперь необходимо, чтобы и корень $x_1 = 6a$ принадлежал этому промежутку: $-6 < 6a < 1$. Разделив все части неравенства на 6, получим: $-1 < a < \frac{1}{6}$. Это и есть искомый диапазон значений параметра $a$.

Ответ: $a \in (-1; \frac{1}{6})$.

2. Найдите все значения параметра a, при которых один из корней квадратного уравнения $ax^2 - x + 5 = 0$ больше -2, а другой меньше -2.

Условие, что число -2 находится между корнями квадратного уравнения $f(x) = ax^2 - x + 5 = 0$, означает, что знаки $a$ (коэффициент при $x^2$) и $f(-2)$ должны быть противоположны. Это можно записать в виде неравенства $a \cdot f(-2) < 0$. Также для существования двух различных корней необходимо, чтобы дискриминант был строго больше нуля: $D > 0$.

Сначала решим неравенство $a \cdot f(-2) < 0$. Найдем значение функции $f(x)$ в точке $x = -2$:

$f(-2) = a(-2)^2 - (-2) + 5 = 4a + 2 + 5 = 4a + 7$.

Теперь решим неравенство: $a(4a + 7) < 0$. Корни выражения $a(4a + 7)$ равны $a = 0$ и $a = -\frac{7}{4}$. Графиком функции $y = a(4a+7)$ является парабола, ветви которой направлены вверх, следовательно, неравенство выполняется между корнями: $-\frac{7}{4} < a < 0$.

Теперь проверим условие $D > 0$. Найдем дискриминант уравнения $ax^2 - x + 5 = 0$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot a \cdot 5 = 1 - 20a$.

Решим неравенство $D > 0$: $1 - 20a > 0$, что дает $1 > 20a$, или $a < \frac{1}{20}$.

Наконец, найдем пересечение полученных решений: $a \in (-\frac{7}{4}; 0)$ и $a < \frac{1}{20}$. Поскольку $0 < \frac{1}{20}$, весь интервал $(-\frac{7}{4}; 0)$ удовлетворяет второму условию. Следовательно, итоговое решение есть $a \in (-\frac{7}{4}; 0)$.

Ответ: $a \in (-\frac{7}{4}; 0)$.

3. При каких значениях параметра a корни уравнения $x^2 + (2a + 6)x + a^2 - 6a + 8 = 0$ являются отрицательными числами?

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного квадратного уравнения. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный). Для того чтобы оба корня были отрицательными ($x_1 < 0$ и $x_2 < 0$), необходимо и достаточно выполнение трех условий:

1. Уравнение должно иметь действительные корни: дискриминант $D \ge 0$.
2. Сумма корней должна быть отрицательной: $x_1 + x_2 < 0$.
3. Произведение корней должно быть положительным: $x_1 \cdot x_2 > 0$.

Используя теорему Виета, рассмотрим каждое условие:

1. Найдем дискриминант: $D = (2a+6)^2 - 4(a^2 - 6a + 8) = 4a^2 + 24a + 36 - 4a^2 + 24a - 32 = 48a + 4$. Условие $D \ge 0$ дает $48a + 4 \ge 0$, откуда $a \ge -\frac{1}{12}$.

2. Сумма корней $x_1 + x_2 = -(2a+6)$. Условие $x_1 + x_2 < 0$ дает $-(2a+6) < 0$, или $2a+6 > 0$, откуда $a > -3$.

3. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = a^2 - 6a + 8$. Условие $x_1 \cdot x_2 > 0$ дает $a^2 - 6a + 8 > 0$. Корнями уравнения $a^2 - 6a + 8=0$ являются $a=2$ и $a=4$. Так как это парабола ветвями вверх, неравенство выполняется при $a < 2$ или $a > 4$, то есть $a \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение всех трех условий:

$\begin{cases} a \ge -\frac{1}{12} \\ a > -3 \\ a \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty) \end{cases}$

Объединяя первые два неравенства, получаем более сильное $a \ge -\frac{1}{12}$. Пересекая это с третьим условием, получаем $a \in [-\frac{1}{12}; 2) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $a \in [-\frac{1}{12}; 2) \cup (4; +\infty)$.