Номер 9, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 9, страница 52.

Условие.

Самостоятельная работа № 9

Решение неравенств методом интервалов

1. Решите неравенство:

1) $(x + 12)(x - 4)(x - 20) > 0$;

2) $(4x - 5)^9(x + 1)(11 - x)^6 > 0$;

3) $\frac{8x}{x^2 - 6x + 5} + \frac{2}{x - 1} \ge \frac{4}{x - 5}$;

4) $(x^2 - 81)\sqrt{x^2 - 49} \ge 0$.

2. Найдите множество решений неравенства

$|x - a|(2x^2 + x - 3) \le 0$ в зависимости от значения параметра $a$.

Решение.

1)

Решим неравенство $(x+12)(x-4)(x-20) > 0$ методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x+12)(x-4)(x-20) = 0$. Корнями являются $x_1 = -12$, $x_2 = 4$, $x_3 = 20$. Эти точки делят числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -12)$, $(-12; 4)$, $(4; 20)$ и $(20; +\infty)$. Определим знак выражения в каждом интервале. В крайнем правом интервале $(20; +\infty)$ при $x=21$ выражение положительно: $(21+12)(21-4)(21-20) > 0$. Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах чередуются. Двигаясь справа налево, получаем знаки: $+$, $-$, $+$, $-$. Схема знаков: $(-\infty; -12) \rightarrow -$; $(-12; 4) \rightarrow +$; $(4; 20) \rightarrow -$; $(20; +\infty) \rightarrow +$. Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак $+$).

Ответ: $x \in (-12; 4) \cup (20; +\infty)$.

2)

Решим неравенство $(4x-5)^9(x+1)(11-x)^6 > 0$. Заметим, что $(11-x)^6 = (x-11)^6$, так как степень четная. Неравенство принимает вид:$(4x-5)^9(x+1)(x-11)^6 > 0$. Найдем нули выражения:$4x-5=0 \Rightarrow x_1 = \frac{5}{4}$ (корень нечетной кратности 9).$x+1=0 \Rightarrow x_2 = -1$ (корень нечетной кратности 1).$x-11=0 \Rightarrow x_3 = 11$ (корень четной кратности 6). Нанесем точки на числовую ось в порядке возрастания: $-1$, $\frac{5}{4}$, $11$. Определим знак на крайнем правом интервале $(11; +\infty)$, например, при $x=12$: $(4 \cdot 12 - 5)^9(12+1)(12-11)^6 > 0$. Знак "+". При переходе через корень $x=11$ (четная кратность) знак не меняется. При переходе через корень $x=\frac{5}{4}$ (нечетная кратность) знак меняется. При переходе через корень $x=-1$ (нечетная кратность) знак меняется. Расставляем знаки справа налево: $(11; +\infty) \rightarrow +$; $(\frac{5}{4}; 11) \rightarrow +$; $(-1; \frac{5}{4}) \rightarrow -$; $(-\infty; -1) \rightarrow +$. Нам нужны интервалы, где выражение строго больше нуля. Точки, где выражение равно нулю, не включаются.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (\frac{5}{4}; 11) \cup (11; +\infty)$.

3)

Решим неравенство $\frac{8x}{x^2 - 6x + 5} + \frac{2}{x-1} \geq \frac{4}{x-5}$. Разложим знаменатель $x^2 - 6x + 5$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$ по теореме Виета равны 1 и 5. Таким образом, $x^2 - 6x + 5 = (x-1)(x-5)$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 1$ и $x \neq 5$. Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:$\frac{8x}{(x-1)(x-5)} + \frac{2(x-5)}{(x-1)(x-5)} - \frac{4(x-1)}{(x-1)(x-5)} \geq 0$$\frac{8x + 2x - 10 - 4x + 4}{(x-1)(x-5)} \geq 0$$\frac{6x - 6}{(x-1)(x-5)} \geq 0$$\frac{6(x-1)}{(x-1)(x-5)} \geq 0$С учетом ОДЗ ($x \neq 1$), мы можем сократить дробь на $(x-1)$. Неравенство сводится к:$\frac{6}{x-5} \geq 0$Так как числитель $6 > 0$, для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель был строго положителен:$x-5 > 0 \Rightarrow x > 5$. Данное решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (5; +\infty)$.

4)

Решим неравенство $(x^2 - 81)\sqrt{x^2 - 49} \geq 0$. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исходя из условия неотрицательности подкоренного выражения:$x^2 - 49 \geq 0 \Rightarrow (x-7)(x+7) \geq 0$. Решением является $x \in (-\infty; -7] \cup [7; +\infty)$. Рассмотрим два случая на ОДЗ:1. $\sqrt{x^2 - 49} = 0$. Это выполняется при $x = 7$ и $x = -7$. В этих точках неравенство принимает вид $0 \geq 0$, что верно. Значит, $x = -7$ и $x = 7$ являются решениями.2. $\sqrt{x^2 - 49} > 0$. Это выполняется на множестве $x \in (-\infty; -7) \cup (7; +\infty)$. На этом множестве можно разделить обе части неравенства на положительный множитель $\sqrt{x^2 - 49}$:$x^2 - 81 \geq 0$$(x-9)(x+9) \geq 0$Решением этого неравенства является $x \in (-\infty; -9] \cup [9; +\infty)$. Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с множеством, на котором мы его рассматривали: $((-\infty; -9] \cup [9; +\infty)) \cap ((-\infty; -7) \cup (7; +\infty))$. Пересечение дает множество $(-\infty; -9] \cup [9; +\infty)$. Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговое множество решений.

Ответ: $x \in (-\infty; -9] \cup \{-7\} \cup \{7\} \cup [9; +\infty)$.

2.

Найдем множество решений неравенства $|x-a|(2x^2 + x - 3) \leq 0$ в зависимости от значения параметра $a$. Множитель $|x-a|$ всегда неотрицателен, т.е. $|x-a| \geq 0$ для любых $x$ и $a$. Произведение $|x-a|$ и $(2x^2 + x - 3)$ будет меньше или равно нулю, если:1. Один из множителей равен нулю. Если $|x-a| = 0$, то есть $x=a$, неравенство становится $0 \leq 0$, что всегда верно. Следовательно, $x=a$ является решением при любом значении $a$.2. Множитель $|x-a|$ строго положителен, а множитель $(2x^2 + x - 3)$ неположителен. Это означает, что $x \neq a$ и $2x^2 + x - 3 \leq 0$. Решим квадратное неравенство $2x^2 + x - 3 \leq 0$. Найдем корни уравнения $2x^2 + x - 3 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25$. Корни: $x_1 = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{3}{2}$, $x_2 = \frac{-1 + 5}{4} = 1$. Так как парабола $y = 2x^2 + x - 3$ имеет ветви вверх, неравенство $2x^2 + x - 3 \leq 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-\frac{3}{2}; 1]$. Общее множество решений неравенства — это объединение решений, полученных в пунктах 1 и 2, то есть множество $[-\frac{3}{2}; 1] \cup \{a\}$. Вид этого множества зависит от расположения точки $a$ относительно отрезка $[-\frac{3}{2}; 1]$.

• Если $a$ принадлежит отрезку $[-\frac{3}{2}; 1]$ (т.е. $-\frac{3}{2} \leq a \leq 1$), то точка $a$ уже включена в отрезок, и их объединение есть сам отрезок.
• Если $a$ не принадлежит отрезку $[-\frac{3}{2}; 1]$ (т.е. $a < -\frac{3}{2}$ или $a > 1$), то $x=a$ является изолированным решением, добавляемым к отрезку.

Ответ: если $-\frac{3}{2} \leq a \leq 1$, то $x \in [-\frac{3}{2}; 1]$; если $a < -\frac{3}{2}$ или $a > 1$, то $x \in [-\frac{3}{2}; 1] \cup \{a\}$.