Номер 2, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 2, страница 48.

Условие.

Самостоятельная работа № 2

Возрастание и убывание функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции

1. На рисунке 7 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:

1) нули функции;

2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;

4) $\min_R f(x)$; $\max_R f(x)$;

5) $\min_{[-4;-3]} f(x)$; $\max_{[-4;-3]} f(x)$.

Рис. 7

2. Докажите, что функция $f(x) = \frac{5}{x+3}$ убывает на промежутке $(-\infty; -3)$.

3. Найдите $\min_{D(f)} f(x)$ и $\max_{D(f)} f(x)$, если $f(x) = 5 - \sqrt{16 - x^2}$.

4. Убывающая функция $f$ определена на множестве $R$. Возрастающей или убывающей является функция $f(g(x))$, если $g(x) = 2x - 5$?

5. Решите уравнение $x^3 + 5\sqrt{3x+10} = 2$.

Решение.

1) нули функции;
Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. Это точки, в которых график функции пересекает ось абсцисс ($Ox$). По графику видно, что пересечение происходит в точках $x = -4$ и $x = 0$.
Ответ: -4; 0.

2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;
Значения функции положительны ($f(x) > 0$), когда график функции находится выше оси абсцисс ($Ox$). Глядя на рисунок, мы видим, что это происходит на двух промежутках: когда $x$ меньше -4 и когда $x$ больше 0.
Ответ: $(-\infty; -4) \cup (0; +\infty)$.

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
Функция убывает, когда ее график идет вниз при движении слева направо. Это происходит на промежутке от $-\infty$ до вершины параболы, абсцисса которой $x = -2$.
Функция возрастает, когда ее график идет вверх. Это происходит на промежутке от вершины параболы ($x = -2$) до $+\infty$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -2]$ и возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$.

4) min f(x); max f(x); на R
Наименьшее значение функции (min) на всей области определения $\mathbb{R}$ достигается в вершине параболы. Координаты вершины $(-2; -4)$, следовательно, наименьшее значение функции равно -4.
Наибольшего значения (max) у функции нет, так как ветви параболы уходят вверх в бесконечность.
Ответ: $\min_{\mathbb{R}} f(x) = -4$; $\max_{\mathbb{R}} f(x)$ не существует.

5) min f(x); max f(x); на [-4;-3]
На отрезке $[-4; -3]$ функция является убывающей (этот отрезок находится левее вершины параболы). Следовательно, наибольшее значение функция принимает в левой границе отрезка, а наименьшее – в правой.
Наибольшее значение: $f(-4) = 0$.
Наименьшее значение: чтобы найти $f(-3)$, определим уравнение параболы. Вершина в $(-2; -4)$, значит $f(x) = a(x+2)^2 - 4$. График проходит через $(0;0)$, подставим: $0 = a(0+2)^2 - 4 \implies 4a=4 \implies a=1$. Итак, $f(x) = (x+2)^2 - 4$. Тогда $f(-3) = (-3+2)^2 - 4 = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$.
Ответ: $\min_{[-4;-3]} f(x) = -3$; $\max_{[-4;-3]} f(x) = 0$.

Для доказательства того, что функция $f(x) = \frac{5}{x+3}$ убывает на промежутке $(-\infty; -3)$, выберем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, так чтобы $x_1 < x_2$. Необходимо доказать, что $f(x_1) > f(x_2)$.
Из $x_1 < x_2$ следует $x_1 + 3 < x_2 + 3$.
Так как $x_1$ и $x_2$ принадлежат промежутку $(-\infty; -3)$, то оба выражения $x_1 + 3$ и $x_2 + 3$ являются отрицательными. При взятии обратных величин от отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{1}{x_1 + 3} > \frac{1}{x_2 + 3}$.
Умножим обе части на положительное число 5. Знак неравенства не изменится:
$\frac{5}{x_1 + 3} > \frac{5}{x_2 + 3}$.
Таким образом, $f(x_1) > f(x_2)$, что по определению означает, что функция $f(x)$ убывает на промежутке $(-\infty; -3)$.
Ответ: доказано.

Сначала найдем область определения функции $D(f)$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $16 - x^2 \ge 0$, что равносильно $x^2 \le 16$, или $|x| \le 4$. Таким образом, $D(f) = [-4; 4]$.
Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $f(x) = 5 - \sqrt{16-x^2}$, проанализируем выражение $\sqrt{16-x^2}$.
Значение $f(x)$ будет максимальным, когда вычитаемое $\sqrt{16-x^2}$ будет минимальным. Минимальное значение корня равно 0. Это достигается при $16-x^2=0$, то есть при $x = \pm 4$.
$\max_{D(f)} f(x) = f(\pm 4) = 5 - \sqrt{16-16} = 5 - 0 = 5$.
Значение $f(x)$ будет минимальным, когда вычитаемое $\sqrt{16-x^2}$ будет максимальным. Максимальное значение подкоренного выражения $16-x^2$ достигается при минимальном значении $x^2$ на отрезке $[-4; 4]$, то есть при $x=0$.
Максимальное значение $\sqrt{16-x^2}$ равно $\sqrt{16-0^2} = \sqrt{16} = 4$.
$\min_{D(f)} f(x) = f(0) = 5 - \sqrt{16-0} = 5 - 4 = 1$.
Ответ: $\min_{D(f)} f(x) = 1$; $\max_{D(f)} f(x) = 5$.

Рассмотрим сложную функцию $h(x) = f(g(x))$, где $f$ - убывающая функция, а $g(x) = 2x - 5$.
Внутренняя функция $g(x) = 2x - 5$ является линейной с положительным угловым коэффициентом $k=2$, следовательно, она является возрастающей на всей числовой прямой.
Чтобы определить монотонность сложной функции $h(x)$, возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2$.
1. Так как $g(x)$ возрастающая, из $x_1 < x_2$ следует, что $g(x_1) < g(x_2)$.
2. Обозначим $u_1 = g(x_1)$ и $u_2 = g(x_2)$. Мы получили, что $u_1 < u_2$.
3. Так как внешняя функция $f$ является убывающей, то из $u_1 < u_2$ следует, что $f(u_1) > f(u_2)$.
4. Это означает, что $f(g(x_1)) > f(g(x_2))$, или $h(x_1) > h(x_2)$.
По определению, если для $x_1 < x_2$ выполняется $h(x_1) > h(x_2)$, то функция $h(x)$ является убывающей. Композиция убывающей и возрастающей функций является убывающей функцией.
Ответ: функция является убывающей.

Решим уравнение $x^3 + 5\sqrt{3x+10} = 2$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательно: $3x + 10 \ge 0 \implies 3x \ge -10 \implies x \ge -\frac{10}{3}$.
Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + 5\sqrt{3x+10}$.
Функция $y_1 = x^3$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.
Функция $y_2 = 5\sqrt{3x+10}$ также является строго возрастающей на своей области определения, так как является композицией возрастающих функций $y=5\sqrt{t}$ и $t=3x+10$.
Сумма двух строго возрастающих функций есть строго возрастающая функция. Следовательно, $f(x)$ строго возрастает на своей ОДЗ $x \ge -\frac{10}{3}$.
Это означает, что уравнение $f(x)=2$ может иметь не более одного корня. Найдем этот корень подбором.
Проверим целые значения из ОДЗ. $x = -3$ ($-\frac{10}{3} \approx -3.33$): $f(-3) = (-3)^3 + 5\sqrt{3(-3)+10} = -27 + 5\sqrt{1} = -22 \ne 2$.
Проверим $x=-2$: $f(-2) = (-2)^3 + 5\sqrt{3(-2)+10} = -8 + 5\sqrt{-6+10} = -8 + 5\sqrt{4} = -8 + 5 \cdot 2 = -8 + 10 = 2$.
Значение $x=-2$ является корнем уравнения. Так как корень единственный, других решений нет.
Ответ: -2.