Номер 33, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 33, страница 46.

Условие.

Самостоятельная работа № 33

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

1. Геометрическая прогрессия ($b_n$) задана формулой $n$-го члена $b_n = 5 \cdot 2^{n+1}$. Найдите сумму семи первых членов прогрессии.

2. Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии равна 1 248. Найдите $n$, если первый член прогрессии равен 8, а знаменатель прогрессии равен 5.

3. Для любого натурального $n$ сумму $n$ первых членов некоторой последовательности можно вычислить по формуле $S_n = 3(4^n - 1)$. Докажите, что данная последовательность является геометрической прогрессией.

Решение.

1.

Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана формулой n-го члена $b_n = 5 \cdot 2^{n+1}$.
Чтобы найти сумму семи первых членов, необходимо определить первый член прогрессии $b_1$ и ее знаменатель $q$.
Найдем первый член, подставив $n=1$ в формулу:
$b_1 = 5 \cdot 2^{1+1} = 5 \cdot 2^2 = 5 \cdot 4 = 20$.
Найдем второй член, подставив $n=2$:
$b_2 = 5 \cdot 2^{2+1} = 5 \cdot 2^3 = 5 \cdot 8 = 40$.
Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{40}{20} = 2$.
Теперь воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Нам нужно найти сумму семи первых членов, то есть $n=7$:
$S_7 = \frac{20(2^7 - 1)}{2 - 1} = \frac{20(128 - 1)}{1} = 20 \cdot 127 = 2540$.
Ответ: 2540.

2.

По условию, сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии $S_n = 1248$, первый член $b_1 = 8$, а знаменатель $q = 5$.
Используем формулу суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим известные значения в формулу:
$1248 = \frac{8(5^n - 1)}{5 - 1}$.
$1248 = \frac{8(5^n - 1)}{4}$.
$1248 = 2(5^n - 1)$.
Разделим обе части уравнения на 2:
$624 = 5^n - 1$.
Прибавим 1 к обеим частям:
$625 = 5^n$.
Представим 625 как степень числа 5: $625 = 5^4$.
$5^4 = 5^n$, откуда $n=4$.
Ответ: 4.

3.

Чтобы доказать, что последовательность является геометрической прогрессией, нужно показать, что отношение любого ее члена к предыдущему является постоянной величиной (этот постоянный множитель называется знаменателем прогрессии $q$).
Нам дана формула для суммы $n$ первых членов последовательности: $S_n = 3(4^n - 1)$.
Найдем $n$-й член последовательности $(b_n)$ по формуле $b_n = S_n - S_{n-1}$ (для $n \ge 2$).
$S_n = 3 \cdot 4^n - 3$.
$S_{n-1} = 3(4^{n-1} - 1) = 3 \cdot 4^{n-1} - 3$.
$b_n = (3 \cdot 4^n - 3) - (3 \cdot 4^{n-1} - 3) = 3 \cdot 4^n - 3 \cdot 4^{n-1}$.
Вынесем общий множитель $3 \cdot 4^{n-1}$:
$b_n = 3 \cdot 4^{n-1}(4 - 1) = 3 \cdot 4^{n-1} \cdot 3 = 9 \cdot 4^{n-1}$.
Мы получили формулу для $n$-го члена последовательности: $b_n = 9 \cdot 4^{n-1}$.
Эта формула соответствует стандартной формуле $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где первый член $b_1 = 9$ и знаменатель $q = 4$.
Проверим, что первый член, найденный по формуле суммы ($b_1 = S_1$), совпадает:
$b_1 = S_1 = 3(4^1 - 1) = 3 \cdot 3 = 9$. Значения совпадают.
Так как мы получили для последовательности формулу $n$-го члена вида $b_n = b_1 q^{n-1}$, где $b_1$ и $q$ — константы, это доказывает, что последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: Последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = 9$ и знаменателем $q = 4$.