Номер 27, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 27, страница 44.

Условие.

Самостоятельная работа № 27

Классическое определение вероятности

1. Из натуральных чисел от 1 до 24 включительно ученик наугад называет одно. Какова вероятность того, что это число является делителем числа 24?

2. В коробке лежат 40 зелёных шаров и несколько синих. Сколько синих шаров в коробке, если вероятность того, что выбранный наугад шар окажется синим, равна $\frac{2}{7}$?

3. Абонент забыл две последние цифры номера телефона и набирает их наугад. Какова вероятность правильно набрать номер с первой попытки, если абонент помнит только, что одна из двух последних цифр меньше другой на 4?

Решение.

1.

Вероятность события по классическому определению равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу равновозможных исходов. Формула для вычисления вероятности: $P(A) = m/n$, где $n$ – общее число исходов, а $m$ – число благоприятствующих исходов.

В данном случае общее число исходов $n$ – это количество натуральных чисел от 1 до 24. Таким образом, $n = 24$.

Благоприятствующий исход – это выбор числа, которое является делителем числа 24. Найдем все делители числа 24 в диапазоне от 1 до 24:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Подсчитаем количество этих делителей. Всего их 8. Таким образом, число благоприятствующих исходов $m = 8$.

Теперь можем вычислить вероятность:

$P = m/n = 8/24 = 1/3$

Ответ: $1/3$

2.

Пусть $x$ – количество синих шаров в коробке. В коробке лежит 40 зелёных шаров. Тогда общее количество шаров в коробке равно $40 + x$.

Вероятность того, что выбранный наугад шар окажется синим, вычисляется как отношение количества синих шаров к общему количеству шаров:

$P(\text{синий}) = x / (40 + x)$

По условию задачи, эта вероятность равна $2/7$. Составим и решим уравнение:

$x / (40 + x) = 2/7$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$7 \cdot x = 2 \cdot (40 + x)$

$7x = 80 + 2x$

$7x - 2x = 80$

$5x = 80$

$x = 80 / 5$

$x = 16$

Следовательно, в коробке 16 синих шаров.

Ответ: 16

3.

Вероятность правильного набора номера с первой попытки равна $P = 1/n$, где $n$ – общее количество возможных комбинаций двух последних цифр, удовлетворяющих заданному условию.

Условие: одна из двух последних цифр меньше другой на 4. Обозначим две последние цифры как $d_1$ и $d_2$. Цифры могут быть от 0 до 9. Условие можно записать как $|d_1 - d_2| = 4$.

Поскольку абонент набирает номер, порядок цифр важен. Нам нужно найти все упорядоченные пары $(d_1, d_2)$, удовлетворяющие этому условию.

Рассмотрим два случая:

1. Вторая цифра больше первой на 4 ($d_2 = d_1 + 4$):

• (0, 4)
• (1, 5)
• (2, 6)
• (3, 7)
• (4, 8)
• (5, 9)

Всего 6 таких комбинаций.

2. Первая цифра больше второй на 4 ($d_1 = d_2 + 4$):

• (4, 0)
• (5, 1)
• (6, 2)
• (7, 3)
• (8, 4)
• (9, 5)

Всего еще 6 комбинаций.

Таким образом, общее число возможных комбинаций, которые помнит абонент, равно $n = 6 + 6 = 12$.

Правильная комбинация только одна. Следовательно, вероятность угадать ее с первой попытки равна:

$P = 1/12$

Ответ: $1/12$