Номер 24, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 24, страница 43.

Условие.

Самостоятельная работа № 24

Размещения

1. В легкоатлетическом кроссе участвует 10 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться первое, второе, третье и четвёртое места?

2. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $A_{x+4}^{2} = 132$;

2) $\frac{P_{x+5}}{A_{x+2}^{2} \cdot P_{x}} = 720.$

3. Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 так, чтобы цифры не повторялись, а вторая и третья цифры были нечётными?

Решение.

1. В задаче требуется найти количество способов распределить 4 призовых места среди 10 спортсменов. Поскольку порядок мест важен (первое место отличается от второго и т.д.), и спортсмены не могут занимать несколько мест одновременно, мы имеем дело с размещениями без повторений.

Количество размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$

В нашем случае, общее количество спортсменов $n=10$, а количество призовых мест $k=4$.

Подставим эти значения в формулу:

$A_{10}^4 = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$

Это можно также рассчитать по правилу произведения. На первое место может претендовать любой из 10 спортсменов (10 вариантов). На второе место – любой из оставшихся 9 спортсменов (9 вариантов). На третье место – любой из оставшихся 8 спортсменов (8 вариантов). На четвёртое место – любой из оставшихся 7 спортсменов (7 вариантов). Общее количество способов равно произведению числа вариантов для каждого места: $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$.

Ответ: 5040.

2.

1) $A_{x+4}^2 = 132$

Используем формулу для числа размещений $A_n^k = n(n-1)...(n-k+1)$.

В данном случае $n = x+4$ и $k=2$.

$A_{x+4}^2 = (x+4)((x+4)-1) = (x+4)(x+3)$

Получаем уравнение:

$(x+4)(x+3) = 132$

Раскроем скобки и решим квадратное уравнение:

$x^2 + 3x + 4x + 12 = 132$

$x^2 + 7x + 12 - 132 = 0$

$x^2 + 7x - 120 = 0$

Найдем корни по теореме Виета. Произведение корней равно -120, а их сумма равна -7. Корни: $x_1 = -15$, $x_2 = 8$.

По условию, $x$ должен быть натуральным числом, поэтому корень $x_1 = -15$ не подходит. Проверим также область допустимых значений: для $A_{n}^k$ должно выполняться $n \ge k$. В нашем случае $x+4 \ge 2$, то есть $x \ge -2$. Решение $x=8$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: 8.

2) $\frac{P_{x+5}}{A_{x+2}^2 \cdot P_x} = 720$

Используем формулы для числа перестановок $P_n = n!$ и размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

$P_{x+5} = (x+5)!$

$P_x = x!$

$A_{x+2}^2 = \frac{(x+2)!}{((x+2)-2)!} = \frac{(x+2)!}{x!} = (x+2)(x+1)$

Подставим выражения в уравнение:

$\frac{(x+5)!}{(x+2)(x+1) \cdot x!} = 720$

Упростим дробь, расписав $(x+5)!$ как $(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)x!$:

$\frac{(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)x!}{(x+2)(x+1)x!} = 720$

Сократим $(x+2)$, $(x+1)$ и $x!$ (при условии, что $x$ – натуральное число, эти множители не равны нулю):

$(x+5)(x+4)(x+3) = 720$

Мы получили произведение трех последовательных натуральных чисел. Заметим, что $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$.

Следовательно, мы можем приравнять соответствующие множители: $x+5 = 10$, откуда $x=5$.

Поскольку $x=5$ является натуральным числом, это и есть решение уравнения.

Ответ: 5.

3. Нам нужно составить шестизначное число из цифр {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} без повторений. Есть дополнительное условие: вторая и третья цифры должны быть нечётными.

Всего дано 8 цифр. Среди них 4 нечётные ({1, 3, 5, 7}) и 4 чётные ({2, 4, 6, 8}).

Будем составлять число, заполняя 6 позиций, начиная с позиций, на которые наложены ограничения. Сначала выберем вторую цифру: на эту позицию можно поставить любую из 4 нечётных цифр, так что есть 4 способа. Затем выберем третью цифру: на эту позицию также нужно поставить нечётную цифру. Так как цифры не повторяются, а одна нечётная цифра уже использована, остаётся $4-1=3$ варианта. Таким образом, количество способов выбрать и расставить вторую и третью цифры равно числу размещений из 4 по 2: $A_4^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

После выбора двух цифр (обе нечётные), у нас остается $8-2=6$ неиспользованных цифр. Этими 6 цифрами нужно заполнить оставшиеся 4 позиции (первую, четвертую, пятую и шестую). Количество способов сделать это равно числу размещений из 6 по 4:

$A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$.

По правилу произведения, общее количество различных шестизначных чисел равно произведению числа способов для каждого этапа:

$N = A_4^2 \cdot A_6^4 = 12 \cdot 360 = 4320$.

Ответ: 4320.