Номер 23, страница 42 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 23, страница 42.

Условие.

Самостоятельная работа № 23

Основные правила комбинаторики.

Перестановки

1. Сколькими способами можно рассадить 15 человек в ряду, содержащем 15 мест?

$15!$

2. Сколько восьмизначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8?

$8 \times 8!$

3. Сколько чётных семизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы в каждом числе цифры были различными?

$3 \times 6!$

4. В школьных соревнованиях по лёгкой атлетике участвуют 7 девятиклассников, 6 десятиклассников и 9 одиннадцатиклассников. Сколькими способами можно построить в шеренгу участников соревнований так, чтобы все девятиклассники стояли рядом, все десятиклассники стояли рядом и все одиннадцатиклассники стояли рядом?

$3! \times 7! \times 6! \times 9!$

Решение.

1. Эта задача сводится к нахождению числа перестановок из 15 элементов. Количество способов, которыми можно рассадить 15 человек на 15 мест, равно числу перестановок $P_{15}$. Формула для числа перестановок из n элементов: $P_n = n!$. В данном случае $n = 15$, поэтому количество способов равно: $P_{15} = 15! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 15 = 1 307 674 368 000$.
Ответ: 1 307 674 368 000 способами.

2. Для составления восьмизначного числа используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (всего 9 цифр). Так как не указано, что цифры не должны повторяться, мы считаем, что повторения возможны. Восьмизначное число состоит из 8 позиций. На первую позицию можно поставить любую из 8 цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), так как число не может начинаться с нуля. На каждую из оставшихся семи позиций (со второй по восьмую) можно поставить любую из 9 доступных цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8). Согласно правилу произведения, общее количество таких чисел равно: $8 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 8 \cdot 9^7 = 8 \cdot 4 782 969 = 38 263 752$.
Ответ: 38 263 752.

3. Нужно составить чётное семизначное число из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, причём все цифры в числе должны быть различны. Так как у нас 7 цифр и число семизначное, все данные цифры будут использованы. Число является чётным, если его последняя цифра чётная. В нашем наборе есть три чётные цифры: 2, 4, 6. 1. Выберем последнюю цифру. Есть 3 способа это сделать (поставить 2, 4 или 6). 2. После того как последняя цифра выбрана, остаётся 6 цифр, которые нужно расставить на оставшиеся 6 позиций. Количество способов сделать это равно числу перестановок из 6 элементов, то есть $P_6 = 6!$. $6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$. 3. Общее количество чётных семизначных чисел находим по правилу произведения, умножив число способов выбора последней цифры на число способов расстановки остальных цифр: $3 \cdot 6! = 3 \cdot 720 = 2160$.
Ответ: 2160.

4. По условию, все ученики из одного класса должны стоять рядом. Это значит, что мы можем рассматривать каждую группу учеников (девятиклассников, десятиклассников и одиннадцатиклассников) как один единый блок. 1. Сначала найдем количество способов расставить эти три блока в шеренгу. Это число перестановок из 3 элементов: $P_3 = 3! = 6$. 2. Затем рассмотрим количество возможных перестановок учеников внутри каждого блока: - 7 девятиклассников можно переставить между собой $P_7 = 7!$ способами. - 6 десятиклассников можно переставить между собой $P_6 = 6!$ способами. - 9 одиннадцатиклассников можно переставить между собой $P_9 = 9!$ способами. 3. Чтобы найти общее количество способов построить шеренгу, нужно перемножить количество способов перестановок блоков и количество перестановок внутри каждого блока: $N = 3! \cdot 7! \cdot 6! \cdot 9!$. Вычислим значения факториалов: $3! = 6$ $7! = 5040$ $6! = 720$ $9! = 362 880$ $N = 6 \cdot 5040 \cdot 720 \cdot 362 880 = 7 903 332 864 000$.
Ответ: $3! \cdot 7! \cdot 6! \cdot 9! = 7 903 332 864 000$ способами.