Номер 19, страница 40 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 19, страница 40.

Условие.

Самостоятельная работа № 19

Математическое моделирование

1. От двух станций, расстояние между которыми равно 450 км, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 5 ч. Найдите скорость каждого поезда, если один из них потратил на путь между станциями на 2 ч 15 мин больше, чем другой.

2. Два экскаватора, работая одновременно, могут вырыть котлован за 4 ч 48 мин. Если же сначала первый экскаватор выроет самостоятельно $\frac{1}{4}$ котлована, а затем второй — оставшуюся часть котлована, то вся работа будет выполнена за 9 ч. За сколько часов может вырыть котлован каждый экскаватор, работая самостоятельно?

3. В двух сплавах массы золота и меди относятся как 7 : 1 и 5 : 3 соответственно. Сколько килограммов первого сплава и сколько килограммов второго надо взять, чтобы, переплавив их, получить 32 кг нового сплава, в котором массы золота и меди относятся как 11 : 5?

Решение.

1.

Пусть $v_1$ и $v_2$ – скорости первого и второго поездов соответственно (в км/ч). Расстояние между станциями $S = 450$ км. Поезда встретились через $t_{встр} = 5$ ч. При движении навстречу друг другу их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$. За время до встречи они вместе преодолели все расстояние: $S = v_{сбл} \cdot t_{встр}$. Отсюда $v_1 + v_2 = \frac{S}{t_{встр}} = \frac{450}{5} = 90$ км/ч. Это наше первое уравнение.

Время, которое первый поезд потратил бы на весь путь: $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{450}{v_1}$. Время, которое второй поезд потратил бы на весь путь: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{450}{v_2}$. По условию, один из них потратил на путь на 2 ч 15 мин больше. Переведем 2 ч 15 мин в часы: $2 \frac{15}{60} = 2 \frac{1}{4} = 2.25$ ч. Пусть первый поезд был медленнее, тогда $t_1 - t_2 = 2.25$. Отсюда $\frac{450}{v_1} - \frac{450}{v_2} = 2.25$. Это наше второе уравнение.

Получаем систему уравнений:$ \begin{cases} v_1 + v_2 = 90 \\ \frac{450}{v_1} - \frac{450}{v_2} = 2.25 \end{cases} $Из первого уравнения выразим $v_2 = 90 - v_1$ и подставим во второе:$\frac{450}{v_1} - \frac{450}{90 - v_1} = 2.25$Приведем к общему знаменателю:$\frac{450(90 - v_1) - 450v_1}{v_1(90 - v_1)} = 2.25$$40500 - 450v_1 - 450v_1 = 2.25 v_1(90 - v_1)$$40500 - 900v_1 = 202.5v_1 - 2.25v_1^2$$2.25v_1^2 - 1102.5v_1 + 40500 = 0$Умножим на 4, чтобы избавиться от дробей:$9v_1^2 - 4410v_1 + 162000 = 0$Разделим на 9:$v_1^2 - 490v_1 + 18000 = 0$Решим квадратное уравнение через дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-490)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18000 = 240100 - 72000 = 168100 = 410^2$$v_{1,1} = \frac{490 - 410}{2} = \frac{80}{2} = 40$$v_{1,2} = \frac{490 + 410}{2} = \frac{900}{2} = 450$. Этот корень не подходит, так как если $v_1=450$, то $v_2 = 90 - 450 = -360$, а скорость не может быть отрицательной. Итак, скорость одного поезда $v_1 = 40$ км/ч. Тогда скорость второго поезда $v_2 = 90 - 40 = 50$ км/ч.

Ответ: 40 км/ч и 50 км/ч.

2.

Пусть вся работа по выкапыванию котлована равна 1. Обозначим время, за которое первый экскаватор может выполнить всю работу, как $t_1$ (в часах), а второй – как $t_2$ (в часах). Тогда их производительности (часть работы в час) равны $p_1 = \frac{1}{t_1}$ и $p_2 = \frac{1}{t_2}$ соответственно.

Когда они работают вместе, их общая производительность равна $p_1 + p_2$. Время совместной работы составляет 4 ч 48 мин. Переведем это время в часы: $4 + \frac{48}{60} = 4 + \frac{4}{5} = 4.8$ ч. За это время они выполняют всю работу: $(p_1 + p_2) \cdot 4.8 = 1$. Отсюда $p_1 + p_2 = \frac{1}{4.8} = \frac{10}{48} = \frac{5}{24}$. Подставляя $p_1$ и $p_2$, получаем первое уравнение: $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{5}{24}$.

По второму условию, сначала первый экскаватор выполняет $\frac{1}{4}$ всей работы. Время, затраченное на это: $T_1 = \frac{1/4}{p_1} = \frac{1}{4}t_1$. Затем второй экскаватор выполняет оставшуюся часть работы: $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. Время, затраченное на это: $T_2 = \frac{3/4}{p_2} = \frac{3}{4}t_2$. Общее время работы по второму условию равно 9 часов: $T_1 + T_2 = 9$. Получаем второе уравнение: $\frac{1}{4}t_1 + \frac{3}{4}t_2 = 9$. Умножим на 4 для удобства: $t_1 + 3t_2 = 36$.

Решим систему из двух уравнений:$ \begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{5}{24} \\ t_1 + 3t_2 = 36 \end{cases} $Из второго уравнения выразим $t_1 = 36 - 3t_2$ и подставим в первое:$\frac{1}{36 - 3t_2} + \frac{1}{t_2} = \frac{5}{24}$$\frac{t_2 + (36 - 3t_2)}{t_2(36 - 3t_2)} = \frac{5}{24}$$\frac{36 - 2t_2}{36t_2 - 3t_2^2} = \frac{5}{24}$$24(36 - 2t_2) = 5(36t_2 - 3t_2^2)$$864 - 48t_2 = 180t_2 - 15t_2^2$$15t_2^2 - 228t_2 + 864 = 0$Разделим уравнение на 3:$5t_2^2 - 76t_2 + 288 = 0$Решим квадратное уравнение:$D = (-76)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 288 = 5776 - 5760 = 16 = 4^2$$t_{2,1} = \frac{76 - 4}{10} = \frac{72}{10} = 7.2$$t_{2,2} = \frac{76 + 4}{10} = \frac{80}{10} = 8$

Найдем соответствующие значения $t_1$:1. Если $t_2 = 7.2$ ч, то $t_1 = 36 - 3 \cdot 7.2 = 36 - 21.6 = 14.4$ ч.2. Если $t_2 = 8$ ч, то $t_1 = 36 - 3 \cdot 8 = 36 - 24 = 12$ ч. Оба решения удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: первый экскаватор за 12 часов и второй за 8 часов, либо первый за 14.4 часа и второй за 7.2 часа.

3.

Пусть необходимо взять $m_1$ кг первого сплава и $m_2$ кг второго сплава. По условию, масса нового сплава равна 32 кг, следовательно, получаем первое уравнение: $m_1 + m_2 = 32$.

Теперь составим уравнение, исходя из массы золота в сплавах. В первом сплаве соотношение масс золота и меди 7:1. Это значит, что в сплаве 8 частей, из которых 7 – золото. Массовая доля золота в первом сплаве составляет $\frac{7}{7+1} = \frac{7}{8}$. Масса золота в $m_1$ кг первого сплава: $\frac{7}{8}m_1$.

Во втором сплаве соотношение масс золота и меди 5:3. В сплаве 8 частей, из которых 5 – золото. Массовая доля золота во втором сплаве составляет $\frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}$. Масса золота в $m_2$ кг второго сплава: $\frac{5}{8}m_2$.

В новом сплаве массой 32 кг соотношение масс золота и меди 11:5. В сплаве 16 частей, из которых 11 – золото. Массовая доля золота в новом сплаве – $\frac{11}{11+5} = \frac{11}{16}$. Общая масса золота в новом сплаве: $32 \cdot \frac{11}{16} = 2 \cdot 11 = 22$ кг.

Сумма масс золота из первого и второго сплавов должна быть равна массе золота в новом сплаве. Получаем второе уравнение:$\frac{7}{8}m_1 + \frac{5}{8}m_2 = 22$. Умножим обе части уравнения на 8:$7m_1 + 5m_2 = 176$.

Решим систему уравнений:$ \begin{cases} m_1 + m_2 = 32 \\ 7m_1 + 5m_2 = 176 \end{cases} $Из первого уравнения выразим $m_2 = 32 - m_1$ и подставим во второе:$7m_1 + 5(32 - m_1) = 176$$7m_1 + 160 - 5m_1 = 176$$2m_1 = 176 - 160$$2m_1 = 16$$m_1 = 8$ кг. Теперь найдем $m_2$:$m_2 = 32 - m_1 = 32 - 8 = 24$ кг.

Ответ: 8 кг первого сплава и 24 кг второго сплава.