Номер 25, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 25, страница 43.

Условие.

Самостоятельная работа № 25

Сочетания

1. Упростите выражение

$\frac{10}{n+7}C_{n+7}^{n+5}$

2. Решите в натуральных числах уравнение

$A_{x+3}^2 + C_{x+6}^{x+4} = 48$

3. У Саши есть 12 различных фломастеров и 9 различных карандашей. Сколькими способами он может сформировать набор, состоящий из 4 фломастеров и 2 карандашей?

4. В цехе работает 19 человек. Сколькими способами можно сформировать бригаду из 8 человек, если Иван Николаевич и Николай Иванович не могут входить в бригаду одновременно?

Решение.

1. Упростите выражение

Для упрощения выражения $\frac{10}{n+7}C_{n+7}^{n+5}$ воспользуемся формулой для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае $n = n+7$ и $k = n+5$. Подставим эти значения в формулу:

$C_{n+7}^{n+5} = \frac{(n+7)!}{(n+5)!((n+7)-(n+5))!} = \frac{(n+7)!}{(n+5)!2!}$

Сократим факториалы:

$\frac{(n+7)!}{(n+5)!} = \frac{(n+5)!(n+6)(n+7)}{(n+5)!} = (n+6)(n+7)$

Таким образом, $C_{n+7}^{n+5} = \frac{(n+6)(n+7)}{2!} = \frac{(n+6)(n+7)}{2}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{10}{n+7} \cdot C_{n+7}^{n+5} = \frac{10}{n+7} \cdot \frac{(n+6)(n+7)}{2}$

Сокращаем $(n+7)$ в числителе и знаменателе, а также 10 и 2:

$\frac{10 \cdot (n+6)}{2} = 5(n+6) = 5n + 30$

Ответ: $5n + 30$.

2. Решите в натуральных числах уравнение

Дано уравнение: $A_{x+3}^2 + C_{x+6}^{x+4} = 48$.

Используем формулы для размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Упростим каждое слагаемое:

$A_{x+3}^2 = \frac{(x+3)!}{(x+3-2)!} = \frac{(x+3)!}{(x+1)!} = (x+2)(x+3) = x^2+5x+6$.

$C_{x+6}^{x+4} = \frac{(x+6)!}{(x+4)!(x+6-(x+4))!} = \frac{(x+6)!}{(x+4)!2!} = \frac{(x+5)(x+6)}{2} = \frac{x^2+11x+30}{2}$.

Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$(x^2+5x+6) + \frac{x^2+11x+30}{2} = 48$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2(x^2+5x+6) + (x^2+11x+30) = 96$

$2x^2+10x+12 + x^2+11x+30 = 96$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2+21x+42 = 96$

$3x^2+21x-54 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2+7x-18 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Корни уравнения $x_1=2$ и $x_2=-9$.

По условию, решение нужно найти в натуральных числах. Натуральные числа — это $1, 2, 3, \ldots$. Корень $x=-9$ не является натуральным числом. Корень $x=2$ — натуральное число.

Проверим ОДЗ: для $A_{x+3}^2$ должно выполняться $x+3 \ge 2 \implies x \ge -1$. Для $C_{x+6}^{x+4}$ должно выполняться $x+6 \ge x+4$ (верно) и $x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$. Корень $x=2$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $x=2$.

3. У Саши есть 12 различных фломастеров и 9 различных карандашей. Сколькими способами он может сформировать набор, состоящий из 4 фломастеров и 2 карандашей?

Задача решается в два этапа. Сначала выбираем фломастеры, затем карандаши. Порядок выбора предметов в наборе не важен, поэтому используем формулу для числа сочетаний.

1. Выбираем 4 фломастера из 12. Число способов равно $C_{12}^4$.

$C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495$ способов.

2. Выбираем 2 карандаша из 9. Число способов равно $C_9^2$.

$C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36$ способов.

Чтобы найти общее число способов сформировать набор, нужно перемножить число способов выбора фломастеров и число способов выбора карандашей (правило умножения в комбинаторике).

Общее число способов = $C_{12}^4 \cdot C_9^2 = 495 \cdot 36 = 17820$.

Ответ: 17820.

4. В цехе работает 19 человек. Сколькими способами можно сформировать бригаду из 8 человек, если Иван Николаевич и Николай Иванович не могут входить в бригаду одновременно?

Для решения этой задачи найдем общее число способов сформировать бригаду, а затем вычтем из него число "нежелательных" способов, то есть тех, где Иван Николаевич и Николай Иванович оказываются в бригаде вместе.

1. Общее число способов сформировать бригаду из 8 человек из 19 равно $C_{19}^8$.

$C_{19}^8 = \frac{19!}{8!(19-8)!} = \frac{19!}{8!11!} = \frac{19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 75582$ способов.

2. Найдем число способов, когда Иван Николаевич и Николай Иванович оба входят в бригаду. Если они уже выбраны, то нам остается выбрать еще $8 - 2 = 6$ человек из оставшихся $19 - 2 = 17$ работников. Число таких способов равно $C_{17}^6$.

$C_{17}^6 = \frac{17!}{6!(17-6)!} = \frac{17!}{6!11!} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 12376$ способов.

3. Вычтем из общего числа способов число "нежелательных" способов:

$C_{19}^8 - C_{17}^6 = 75582 - 12376 = 63206$ способов.

Ответ: 63206.