Номер 31, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 31, страница 45.

Условие.

Самостоятельная работа № 31

Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии

1. Арифметическая прогрессия $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена: $a_n = 3n - 1$. Найдите сумму сорока семи первых членов прогрессии.

2. Для любого натурального значения $n$ сумму $n$ первых членов некоторой арифметической прогрессии можно вычислить по формуле $S_n = 5n^2 - 3n$. Найдите первый член и разность этой прогрессии.

3. Пятнадцатый член арифметической прогрессии равен 21. Найдите сумму двадцати девяти первых членов прогрессии.

Решение.

1.

Арифметическая прогрессия $(a_n)$ задана формулой n-го члена: $a_n = 3n - 1$.
Чтобы найти сумму сорока семи первых членов прогрессии, воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
В нашем случае $n = 47$.
Сначала найдем первый член прогрессии, подставив $n = 1$ в заданную формулу:
$a_1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2$.
Теперь найдем сорок седьмой член прогрессии, подставив $n = 47$ в заданную формулу:
$a_{47} = 3 \cdot 47 - 1 = 141 - 1 = 140$.
Теперь мы можем вычислить сумму первых сорока семи членов прогрессии:
$S_{47} = \frac{a_1 + a_{47}}{2} \cdot 47 = \frac{2 + 140}{2} \cdot 47 = \frac{142}{2} \cdot 47 = 71 \cdot 47 = 3337$.

Ответ: 3337

2.

Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии задана формулой $S_n = 5n^2 - 3n$.
Первый член прогрессии $a_1$ равен сумме первого члена, то есть $S_1$. Найдем его, подставив $n=1$ в формулу суммы:
$a_1 = S_1 = 5 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 = 5 - 3 = 2$.
Сумма двух первых членов прогрессии $S_2$ равна $a_1 + a_2$. Найдем $S_2$, подставив $n=2$ в формулу суммы:
$S_2 = 5 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 = 5 \cdot 4 - 6 = 20 - 6 = 14$.
Теперь мы можем найти второй член прогрессии $a_2$:
$a_2 = S_2 - a_1 = 14 - 2 = 12$.
Разность арифметической прогрессии $d$ — это разница между последующим и предыдущим членами. Найдем ее:
$d = a_2 - a_1 = 12 - 2 = 10$.

Ответ: первый член равен 2, разность равна 10.

3.

Известно, что пятнадцатый член арифметической прогрессии равен 21, то есть $a_{15} = 21$.
Нужно найти сумму двадцати девяти первых членов прогрессии, $S_{29}$.
Формула суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Для нашего случая: $S_{29} = \frac{a_1 + a_{29}}{2} \cdot 29$.
Воспользуемся свойством арифметической прогрессии: для любых натуральных чисел $k$ и $m$ верно, что $a_k + a_m = a_{k-l} + a_{m+l}$. В частности, сумма членов, равноудаленных от концов, постоянна: $a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = \dots$.
В нашем случае для суммы 29 членов: $1 + 29 = 30$. Пятнадцатый член является "центральным" для этой суммы, так как $a_{15}$ находится на равном расстоянии от $a_1$ и $a_{29}$ ($15-1 = 14$ и $29-15 = 14$). Это значит, что $a_1 + a_{29} = a_{15} + a_{15} = 2a_{15}$.
Выразим это через формулу n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$a_1 + a_{29} = a_1 + (a_1 + (29-1)d) = 2a_1 + 28d = 2(a_1 + 14d)$.
Так как $a_{15} = a_1 + (15-1)d = a_1 + 14d$, то $a_1 + a_{29} = 2a_{15}$.
Подставим известное значение $a_{15} = 21$:
$a_1 + a_{29} = 2 \cdot 21 = 42$.
Теперь подставим это значение в формулу суммы $S_{29}$:
$S_{29} = \frac{42}{2} \cdot 29 = 21 \cdot 29 = 609$.

Ответ: 609