Номер 34, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 34, страница 46.

Условие.

Самостоятельная работа № 34

Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы

1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) -96, 24, -6, ... ;

2) 15, $5\sqrt{3}$, 5, ... .

2. Запишите в виде обыкновенной дроби число:

1) 0,444... ;

2) 3,7(32).

3. В бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $q$, где $|q| < 1$, сумма членов с нечётными номерами равна 45, а сумма членов с чётными номерами равна 9. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Решение.

1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) -96, 24, -6, ... ;

Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель, при условии $|q| < 1$.
В данной прогрессии первый член $b_1 = -96$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{24}{-96} = -\frac{1}{4}$.
Модуль знаменателя $|q| = |-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$, что меньше 1, следовательно, формула применима.
Вычислим сумму: $S = \frac{-96}{1 - (-\frac{1}{4})} = \frac{-96}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{-96}{\frac{5}{4}} = -96 \cdot \frac{4}{5} = -\frac{384}{5} = -76,8$.
Ответ: $-76,8$.

2) 15, 5√3, 5, ... .

Первый член прогрессии $b_1 = 15$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$: $q = \frac{5\sqrt{3}}{15} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Проверим условие сходимости: $|q| = |\frac{\sqrt{3}}{3}| < 1$, так как $\sqrt{3} \approx 1,732$ и $\frac{1,732}{3} < 1$.
Вычислим сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S = \frac{15}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{15}{\frac{3-\sqrt{3}}{3}} = \frac{15 \cdot 3}{3-\sqrt{3}} = \frac{45}{3-\sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3+\sqrt{3})$:
$S = \frac{45(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})} = \frac{45(3+\sqrt{3})}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{45(3+\sqrt{3})}{9 - 3} = \frac{45(3+\sqrt{3})}{6}$.
Сократим дробь на 3: $S = \frac{15(3+\sqrt{3})}{2}$.
Ответ: $\frac{15(3+\sqrt{3})}{2}$.

2. Запишите в виде обыкновенной дроби число:

1) 0,444... ;

Число $0,444...$ является чистой периодической дробью $0,(4)$.
Представим его в виде суммы бесконечной геометрической прогрессии:
$0,444... = 0,4 + 0,04 + 0,004 + ...$
Здесь первый член $b_1 = 0,4 = \frac{4}{10}$, а знаменатель $q = 0,1 = \frac{1}{10}$.
Сумма этой прогрессии равна: $S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{0,4}{1-0,1} = \frac{0,4}{0,9} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

2) 3,7(32).

Число $3,7(32)$ является смешанной периодической дробью $3,73232...$.
Пусть $x = 3,73232...$.
Умножим на 10, чтобы целая часть и предпериод оказались слева от запятой: $10x = 37,3232...$.
Умножим на 1000, чтобы слева от запятой оказался и первый период: $1000x = 3732,3232...$.
Вычтем из второго уравнения первое:
$1000x - 10x = 3732,3232... - 37,3232...$
$990x = 3695$
$x = \frac{3695}{990}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5: $x = \frac{739}{198}$.
Ответ: $\frac{739}{198}$.

3. В бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q, где |q| < 1, сумма членов с нечётными номерами равна 45, а сумма членов с чётными номерами равна 9. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.
Сумма членов с нечётными номерами: $S_{нечёт} = b_1 + b_3 + b_5 + ... = b_1 + b_1q^2 + b_1q^4 + ...$.
Это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q^2$. Её сумма равна $S_{нечёт} = \frac{b_1}{1-q^2}$. По условию, эта сумма равна 45. $\frac{b_1}{1-q^2} = 45$. (1)
Сумма членов с чётными номерами: $S_{чёт} = b_2 + b_4 + b_6 + ... = b_1q + b_1q^3 + b_1q^5 + ...$.
Это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1q$ и знаменателем $q^2$. Её сумма равна $S_{чёт} = \frac{b_1q}{1-q^2}$. По условию, эта сумма равна 9. $\frac{b_1q}{1-q^2} = 9$. (2)
Имеем систему из двух уравнений. Разделим второе уравнение на первое:
$\frac{\frac{b_1q}{1-q^2}}{\frac{b_1}{1-q^2}} = \frac{9}{45}$
$q = \frac{1}{5}$.
Теперь подставим найденное значение $q$ в первое уравнение, чтобы найти $b_1$:
$\frac{b_1}{1-(\frac{1}{5})^2} = 45$
$\frac{b_1}{1-\frac{1}{25}} = 45$
$\frac{b_1}{\frac{24}{25}} = 45$
$b_1 = 45 \cdot \frac{24}{25} = \frac{9 \cdot 5 \cdot 24}{5 \cdot 5} = \frac{9 \cdot 24}{5} = \frac{216}{5} = 43,2$.
Ответ: первый член $b_1 = \frac{216}{5}$, знаменатель $q = \frac{1}{5}$.