Номер 29, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 29, страница 45.

Условие.

Самостоятельная работа № 29

Числовые последовательности

1. Найдите три первых члена последовательности ($a_n$), если $a_1 = 5$, $a_{n+1} = -3a_n + 2$.

2. Последовательность ($b_n$) задана формулой $n$-го члена $b_n = 7n + 1$. Является ли членом этой последовательности число: 1) 36; 2) 41? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

3. Последовательность ($a_n$) задана формулой $n$-го члена $a_n = n^2 - 6n + 2$. Найдите количество членов этой последовательности, которые меньше числа 18.

4. Найдите все такие значения $a$, при которых последовательность, заданная условиями $x_1 = a$, $x_{n+1} = x_n^2 - 5x_n + 5$, является стационарной.

Решение.

1. Нам дана последовательность $(a_n)$, где $a_1 = 5$ и $a_{n+1} = -3a_n + 2$. Нужно найти первые три члена.
Первый член уже дан: $a_1 = 5$.
Чтобы найти второй член, подставим $n=1$ в рекуррентную формулу:
$a_2 = a_{1+1} = -3a_1 + 2 = -3 \cdot 5 + 2 = -15 + 2 = -13$.
Чтобы найти третий член, подставим $n=2$ в рекуррентную формулу:
$a_3 = a_{2+1} = -3a_2 + 2 = -3 \cdot (-13) + 2 = 39 + 2 = 41$.
Таким образом, первые три члена последовательности: 5, -13, 41.
Ответ: 5; -13; 41.

2. Последовательность $(b_n)$ задана формулой $n$-го члена $b_n = 7n + 1$. Проверим, являются ли числа 36 и 41 членами этой последовательности.
Член последовательности должен иметь натуральный номер $n$ ($n \in \mathbb{N}$).
1) Проверим число 36.
Приравняем $b_n$ к 36 и решим уравнение относительно $n$:
$7n + 1 = 36$
$7n = 36 - 1$
$7n = 35$
$n = 35 / 7 = 5$
Так как $n=5$ является натуральным числом, число 36 является пятым членом этой последовательности.
2) Проверим число 41.
Приравняем $b_n$ к 41 и решим уравнение относительно $n$:
$7n + 1 = 41$
$7n = 41 - 1$
$7n = 40$
$n = 40 / 7$
Так как $n = 40/7$ не является натуральным числом, число 41 не является членом этой последовательности.
Ответ: 1) Да, номер этого члена 5; 2) Нет.

3. Последовательность $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена $a_n = n^2 - 6n + 2$. Нужно найти количество членов этой последовательности, которые меньше числа 18.
Составим и решим неравенство $a_n < 18$:
$n^2 - 6n + 2 < 18$
$n^2 - 6n + 2 - 18 < 0$
$n^2 - 6n - 16 < 0$
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $n^2 - 6n - 16 = 0$.
Используем теорему Виета: $n_1 + n_2 = 6$, $n_1 \cdot n_2 = -16$. Корни равны $n_1 = 8$ и $n_2 = -2$.
Графиком функции $y = n^2 - 6n - 16$ является парабола с ветвями вверх, которая принимает отрицательные значения между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $-2 < n < 8$.
Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом ($n \ge 1$), то нам подходят следующие значения $n$: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Всего таких членов 7.
Ответ: 7.

4. Последовательность задана условиями $x_1 = a$, $x_{n+1} = x_n^2 - 5x_n + 5$. Нужно найти все значения $a$, при которых последовательность является стационарной.
Стационарная последовательность — это последовательность, в которой все члены равны друг другу: $x_1 = x_2 = x_3 = \dots = x_n = x_{n+1} = \dots$.
Условие стационарности означает, что $x_{n+1} = x_n$ для любого $n \ge 1$.
Подставим это в рекуррентную формулу. Пусть $x_n = x$:
$x = x^2 - 5x + 5$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 5x - x + 5 = 0$
$x^2 - 6x + 5 = 0$
Решим это уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 6$, $x_1 \cdot x_2 = 5$.
Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
Это означает, что если какой-либо член последовательности равен 1 или 5, то и следующий член будет равен этому же значению.
Чтобы вся последовательность была стационарной, ее первый член $x_1 = a$ должен быть равен одному из этих значений.
Если $a=1$, то $x_1=1$, $x_2=1^2 - 5(1) + 5 = 1$, и так далее. Все члены будут равны 1.
Если $a=5$, то $x_1=5$, $x_2=5^2 - 5(5) + 5 = 5$, и так далее. Все члены будут равны 5.
Следовательно, искомые значения $a$ — это 1 и 5.
Ответ: 1; 5.