Номер 22, страница 42 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 22, страница 42.

Условие.

Самостоятельная работа № 22

Метод математической индукции

1. Докажите методом математической индукции, что при любом натуральном $n$ выполняется равенство

$1 + 7 + 13 + \dots + 6n - 5 = n(3n - 2)$.

2. Докажите неравенство

$6^n > 5n + 4$, где $n \in N, n \ge 2$.

3. Докажите, что для любого натурального $n$ значение выражения $(29^n + 68 \cdot 6^n)$ кратно 23.

Решение.

1. Докажите методом математической индукции, что при любом натуральном n выполняется равенство $1 + 7 + 13 + ... + 6n - 5 = n(3n - 2)$.

Доказательство проведем методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции.
Проверим справедливость равенства для наименьшего натурального значения $n=1$.
Левая часть: $6 \cdot 1 - 5 = 1$.
Правая часть: $1 \cdot (3 \cdot 1 - 2) = 1 \cdot (3 - 2) = 1$.
$1=1$. Равенство верно для $n=1$.

Шаг 2: Индукционный переход.
Предположение индукции: предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $n=k$, то есть:
$1 + 7 + 13 + ... + (6k - 5) = k(3k - 2)$.
Докажем для $n=k+1$: докажем, что из предположения следует верность равенства для $n=k+1$, то есть:
$1 + 7 + 13 + ... + (6k - 5) + (6(k+1) - 5) = (k+1)(3(k+1) - 2)$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$. Используем предположение индукции, чтобы заменить сумму первых $k$ слагаемых:
$(1 + 7 + 13 + ... + (6k - 5)) + (6(k+1) - 5) = k(3k - 2) + (6k + 6 - 5) = k(3k - 2) + (6k + 1)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$3k^2 - 2k + 6k + 1 = 3k^2 + 4k + 1$.

Теперь преобразуем правую часть равенства для $n=k+1$:
$(k+1)(3(k+1) - 2) = (k+1)(3k + 3 - 2) = (k+1)(3k + 1)$.
Раскроем скобки:
$3k^2 + k + 3k + 1 = 3k^2 + 4k + 1$.

Левая и правая части совпали ($3k^2 + 4k + 1 = 3k^2 + 4k + 1$), следовательно, индукционный переход доказан.

Вывод: поскольку база индукции и индукционный переход верны, данное равенство справедливо для любого натурального числа $n$.

Ответ: Равенство доказано.

2. Докажите неравенство $6^n > 5n + 4$, где $n \in N, n \geq 2$.

Доказательство проведем методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции.
Проверим справедливость неравенства для наименьшего указанного значения $n=2$.
Левая часть: $6^2 = 36$.
Правая часть: $5 \cdot 2 + 4 = 10 + 4 = 14$.
$36 > 14$. Неравенство верно для $n=2$.

Шаг 2: Индукционный переход.
Предположение индукции: предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $n=k \geq 2$, то есть:
$6^k > 5k + 4$.
Докажем для $n=k+1$: докажем, что из предположения следует верность неравенства для $n=k+1$, то есть:
$6^{k+1} > 5(k+1) + 4$.

Рассмотрим левую часть неравенства для $n=k+1$.
$6^{k+1} = 6 \cdot 6^k$.
Используя предположение индукции $6^k > 5k + 4$, получаем:
$6 \cdot 6^k > 6 \cdot (5k + 4) = 30k + 24$.

Теперь нам нужно доказать, что полученное выражение больше, чем правая часть доказываемого неравенства:
$30k + 24 > 5(k+1) + 4$.
$30k + 24 > 5k + 5 + 4$.
$30k + 24 > 5k + 9$.
$25k > -15$.
Поскольку по условию $k \geq 2$, это неравенство очевидно верно.

Таким образом, мы показали, что $6^{k+1} > 30k + 24$ и $30k + 24 > 5(k+1) + 4$. По свойству транзитивности неравенств, отсюда следует, что $6^{k+1} > 5(k+1) + 4$. Индукционный переход доказан.

Вывод: поскольку база индукции и индукционный переход верны, данное неравенство справедливо для любого натурального числа $n \geq 2$.

Ответ: Неравенство доказано.

3. Докажите, что для любого натурального n значение выражения $(29^n + 68 \cdot 6^n)$ кратно 23.

Доказательство проведем методом математической индукции. Обозначим $A(n) = 29^n + 68 \cdot 6^n$.

Шаг 1: База индукции.
Проверим утверждение для $n=1$.
$A(1) = 29^1 + 68 \cdot 6^1 = 29 + 408 = 437$.
Разделим 437 на 23: $437 \div 23 = 19$.
Так как 437 делится на 23 без остатка, утверждение верно для $n=1$.

Шаг 2: Индукционный переход.
Предположение индукции: предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $n=k$, то есть $A(k) = (29^k + 68 \cdot 6^k)$ кратно 23.
Это означает, что существует целое число $m$ такое, что $29^k + 68 \cdot 6^k = 23m$.
Докажем для $n=k+1$: докажем, что $A(k+1) = (29^{k+1} + 68 \cdot 6^{k+1})$ также кратно 23.

Рассмотрим выражение $A(k+1)$:
$A(k+1) = 29^{k+1} + 68 \cdot 6^{k+1} = 29 \cdot 29^k + 68 \cdot 6 \cdot 6^k$.
Преобразуем выражение, чтобы использовать предположение индукции. Выделим слагаемое, содержащее $A(k)$.
$29 \cdot 29^k + 68 \cdot 6 \cdot 6^k = (23 + 6) \cdot 29^k + 68 \cdot 6 \cdot 6^k = 23 \cdot 29^k + 6 \cdot 29^k + 68 \cdot 6 \cdot 6^k$
$= 23 \cdot 29^k + 6 \cdot (29^k + 68 \cdot 6^k) = 23 \cdot 29^k + 6 \cdot A(k)$.

Теперь проанализируем полученную сумму $23 \cdot 29^k + 6 \cdot A(k)$:
Первое слагаемое, $23 \cdot 29^k$, очевидно кратно 23.
Второе слагаемое, $6 \cdot A(k)$, кратно 23, так как по предположению индукции $A(k)$ кратно 23.
Сумма двух чисел, каждое из которых кратно 23, также кратна 23. Следовательно, $A(k+1)$ кратно 23. Индукционный переход доказан.

Вывод: поскольку база индукции и индукционный переход верны, выражение $(29^n + 68 \cdot 6^n)$ кратно 23 для любого натурального числа $n$.

Ответ: Утверждение доказано.