Номер 16, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 16, страница 39.

Условие.

Самостоятельная работа № 16

Системы неравенств с двумя переменными

1. Изобразите на координатной плоскости $xy$ множество решений системы неравенств $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 5, \\ xy > -2. \end{cases}$

2. Изобразите график неравенства:

1) $|x + 3y| < 2$;

2) $\sqrt{x + 3y} < \sqrt{x - 2y + 2}$.

3. Изобразите на координатной плоскости $xy$ множество точек, координаты которых удовлетворяют условию $\max \{-2x, 1\} = y + 3$.

Решение.

1.

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases}x^2 + y^2 \le 5 \\xy > -2\end{cases}$

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 5$ задает множество точек на координатной плоскости, находящихся внутри и на границе окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{5}$. Это замкнутый круг.

Второе неравенство $xy > -2$. Границей этой области является гипербола $y = -2/x$, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Так как неравенство строгое, точки, лежащие на самой гиперболе, не являются решениями (график гиперболы изображается пунктирной линией). Множество решений этого неравенства — это область "между" ветвями гиперболы, содержащая начало координат.

Решением системы является пересечение этих двух множеств, то есть та часть круга $x^2 + y^2 \le 5$, в которой выполняется условие $xy > -2$. Графически это круг радиуса $\sqrt{5}$ с центром в начале координат, из которого удалены два сегмента, ограниченные дугами гиперболы $y = -2/x$. Граница окружности включается в решение (сплошная линия), а дуги гиперболы — нет (пунктирная линия).

Ответ: Искомое множество — это замкнутый круг с центром в точке $(0,0)$ и радиусом $\sqrt{5}$, из которого исключены точки, для которых $xy \le -2$. Эта область ограничена дугами гиперболы $y=-2/x$ и дугами окружности $x^2+y^2=5$. Граница, принадлежащая окружности, является частью решения, а граница, принадлежащая гиперболе, — нет.

2.

1) $|x + 3y| < 2$

Данное неравенство с модулем равносильно двойному неравенству:

$-2 < x + 3y < 2$

Это соответствует системе из двух неравенств:

$\begin{cases}x + 3y < 2 \\x + 3y > -2\end{cases}$

Каждое из этих неравенств задает открытую полуплоскость. Границами этих полуплоскостей являются параллельные прямые $x + 3y = 2$ и $x + 3y = -2$. Выразим $y$:

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$ и $y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$

Поскольку неравенства строгие, сами прямые не принадлежат искомому множеству и должны быть изображены пунктирными линиями. Искомое множество — это полоса, заключенная между этими двумя прямыми.

Ответ: Множество решений — это открытая полоса, расположенная между параллельными прямыми $y = -x/3 + 2/3$ и $y = -x/3 - 2/3$.

2) $\sqrt{x + 3y} < \sqrt{x - 2y + 2}$

Во-первых, определим область допустимых значений (ОДЗ), потребовав, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны:

$\begin{cases}x + 3y \ge 0 \\x - 2y + 2 \ge 0\end{cases}\implies\begin{cases}y \ge -x/3 \\y \le x/2 + 1\end{cases}$

Это область на плоскости, ограниченная снизу прямой $y = -x/3$ и сверху прямой $y = x/2 + 1$, включая сами прямые.

Поскольку обе части исходного неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохраняя знак неравенства:

$x + 3y < x - 2y + 2$

$3y < -2y + 2$

$5y < 2$

$y < 2/5$

Таким образом, искомое множество точек должно удовлетворять системе из трех неравенств:

$\begin{cases}y \ge -x/3 \\y \le x/2 + 1 \\y < 2/5\end{cases}$

Граничные прямые $y = -x/3$, $y = x/2 + 1$ и $y = 2/5$ пересекаются в одной точке $A(-6/5, 2/5)$. Решением системы является область, расположенная одновременно выше (или на) прямой $y = -x/3$, ниже (или на) прямой $y = x/2 + 1$ и строго ниже прямой $y = 2/5$. Эта область представляет собой внутреннюю часть угла с вершиной в точке $A(-6/5, 2/5)$, образованного лучами $y = -x/3$ и $y = x/2 + 1$ при $x \ge -6/5$. Сама вершина $A$ не входит в решение, так как ее ордината равна $2/5$, что не удовлетворяет строгому неравенству $y < 2/5$.

Ответ: Искомое множество — это внутренность угла с вершиной в точке $(-6/5, 2/5)$, ограниченного лучами $y = -x/3$ ($x \ge -6/5$) и $y = x/2 + 1$ ($x \ge -6/5$). Граничные лучи (за исключением вершины) принадлежат множеству, а сама вершина — нет.

3.

Рассмотрим уравнение $\max\{-2x, 1\} = y + 3$.

Это уравнение можно разбить на два случая, в зависимости от того, какое из выражений в функции $\max$ больше.

Случай 1: $-2x \ge 1$, что эквивалентно $x \le -1/2$.

В этом случае $\max\{-2x, 1\} = -2x$. Уравнение принимает вид:

$-2x = y + 3$, откуда $y = -2x - 3$.

Графиком является луч прямой $y = -2x - 3$, определённый для $x \le -1/2$. Конечной точкой луча является точка, соответствующая $x = -1/2$: $y = -2(-1/2) - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка $(-1/2, -2)$ принадлежит этому лучу.

Случай 2: $-2x < 1$, что эквивалентно $x > -1/2$.

В этом случае $\max\{-2x, 1\} = 1$. Уравнение принимает вид:

$1 = y + 3$, откуда $y = -2$.

Графиком является луч горизонтальной прямой $y = -2$, определённый для $x > -1/2$. Этот луч начинается в точке $(-1/2, -2)$, но сама точка ему не принадлежит.

Объединяя оба случая, мы получаем график, состоящий из двух лучей, которые "стыкуются" в точке $(-1/2, -2)$.

Ответ: Множество точек представляет собой объединение двух лучей с общей начальной точкой $(-1/2, -2)$: луча прямой $y = -2x - 3$ для $x \le -1/2$ и луча прямой $y = -2$ для $x > -1/2$.