Номер 10, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 10, страница 37.

Условие.

Самостоятельная работа № 10

Расположение нулей квадратичной функции относительно данной точки

1. При каких значениях параметра $a$ все корни уравнения $x^2 + (5a + 2)x + 10a = 0$ принадлежат промежутку $(-3; 1)$?

2. Найдите все значения параметра $a$, при которых один из корней квадратного уравнения $ax^2 + x + 4 = 0$ больше 3, а другой меньше 3.

3. При каких значениях параметра $a$ корни уравнения $x^2 + (2a - 14)x + a^2 - a - 12 = 0$ являются положительными числами?

Решение.

1. При каких значениях параметра a все корни уравнения $x^2 + (5a + 2)x + 10a = 0$ принадлежат промежутку $(-3; 1)$?

Обозначим $f(x) = x^2 + (5a + 2)x + 10a$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный). Для того чтобы оба корня $x_1$ и $x_2$ уравнения находились в интервале $(-3; 1)$, должны выполняться следующие условия:

1. Дискриминант должен быть неотрицательным, чтобы уравнение имело действительные корни: $D \ge 0$.
2. Вершина параболы $x_v$ должна находиться внутри интервала: $-3 < x_v < 1$.
3. Значения функции на концах интервала должны быть положительными: $f(-3) > 0$ и $f(1) > 0$.

Рассмотрим каждое условие по отдельности:

1. Дискриминант:
$D = (5a + 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10a = 25a^2 + 20a + 4 - 40a = 25a^2 - 20a + 4 = (5a - 2)^2$.
Условие $D \ge 0$ превращается в $(5a - 2)^2 \ge 0$. Это неравенство выполняется для любых действительных значений $a$.

2. Положение вершины параболы:
Координата вершины $x_v = -\frac{b}{2a_{coeff}} = -\frac{5a + 2}{2 \cdot 1} = -\frac{5a + 2}{2}$.
Составим двойное неравенство: $-3 < -\frac{5a + 2}{2} < 1$.
Умножим все части на -2, изменив знаки неравенства: $6 > 5a + 2 > -2$.
Это эквивалентно системе:
$5a + 2 < 6 \implies 5a < 4 \implies a < \frac{4}{5}$
$5a + 2 > -2 \implies 5a > -4 \implies a > -\frac{4}{5}$
Таким образом, $-\frac{4}{5} < a < \frac{4}{5}$.

3. Значения функции на концах интервала:
a) $f(-3) > 0$
$(-3)^2 + (5a + 2)(-3) + 10a > 0$
$9 - 15a - 6 + 10a > 0$
$3 - 5a > 0$
$3 > 5a \implies a < \frac{3}{5}$
b) $f(1) > 0$
$1^2 + (5a + 2)(1) + 10a > 0$
$1 + 5a + 2 + 10a > 0$
$3 + 15a > 0$
$15a > -3 \implies a > -\frac{1}{5}$

Теперь объединим все полученные условия в систему:
$\begin{cases} a \in (-\infty; +\infty) \\ -\frac{4}{5} < a < \frac{4}{5} \\ a < \frac{3}{5} \\ a > -\frac{1}{5} \end{cases}$
Найдем пересечение этих интервалов. Сравнивая границы: $-\frac{4}{5} = -0.8$, $-\frac{1}{5} = -0.2$, $\frac{3}{5} = 0.6$, $\frac{4}{5} = 0.8$. Пересечение дает интервал $(\max(-\frac{4}{5}, -\frac{1}{5}); \min(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})) = (-\frac{1}{5}; \frac{3}{5})$.

Ответ: $a \in (-\frac{1}{5}; \frac{3}{5})$.

2. Найдите все значения параметра a, при которых один из корней квадратного уравнения $ax^2 + x + 4 = 0$ больше 3, а другой меньше 3.

Пусть $f(x) = ax^2 + x + 4$. Условие, что число 3 находится между корнями уравнения ($x_1 < 3 < x_2$), означает, что график функции $y=f(x)$ пересекает ось $x$ по обе стороны от точки $x=3$.

Это условие можно выразить одним неравенством: $a \cdot f(3) < 0$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Чтобы корни были по разные стороны от 3, значение функции в точке 3 должно быть отрицательным: $f(3) < 0$. 2. Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. В этом случае значение функции в точке 3 должно быть положительным: $f(3) > 0$.

Оба случая объединяются в одно неравенство $a \cdot f(3) < 0$. Также необходимо, чтобы $a \neq 0$, иначе уравнение станет линейным и будет иметь только один корень, что противоречит условию.

Вычислим $f(3)$:
$f(3) = a(3)^2 + 3 + 4 = 9a + 7$.

Теперь решим неравенство $a \cdot (9a + 7) < 0$.
Найдем корни выражения $a(9a+7)$: $a_1 = 0$ и $a_2 = -\frac{7}{9}$.
Графиком функции $y=a(9a+7)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения этой функции отрицательны между ее корнями. Следовательно, решением неравенства является интервал $(-\frac{7}{9}; 0)$.

Заметим, что условие $a \cdot f(3) < 0$ автоматически гарантирует существование двух различных действительных корней (т.е. $D > 0$), так как если парабола имеет значение, противоположное по знаку коэффициенту при $x^2$, она обязательно пересечет ось абсцисс в двух точках.

Ответ: $a \in (-\frac{7}{9}; 0)$.

3. При каких значениях параметра a корни уравнения $x^2 + (2a - 14)x + a^2 - a - 12 = 0$ являются положительными числами?

Для того чтобы оба корня квадратного уравнения $x_1$ и $x_2$ были положительными ($x_1 > 0$ и $x_2 > 0$), необходимо и достаточно выполнение трех условий:

1. Уравнение должно иметь действительные корни: дискриминант $D \ge 0$.
2. Сумма корней должна быть положительной: $x_1 + x_2 > 0$.
3. Произведение корней должно быть положительным: $x_1 \cdot x_2 > 0$.

Воспользуемся теоремой Виета для данного уравнения:

• $x_1 + x_2 = -(2a - 14) = 14 - 2a$
• $x_1 \cdot x_2 = a^2 - a - 12$

Составим систему неравенств на основе этих условий:

1. Дискриминант:
$D = (2a - 14)^2 - 4(a^2 - a - 12) \ge 0$
$4a^2 - 56a + 196 - 4a^2 + 4a + 48 \ge 0$
$-52a + 244 \ge 0$
$244 \ge 52a$
$a \le \frac{244}{52} \implies a \le \frac{61}{13}$

2. Сумма корней:
$x_1 + x_2 = 14 - 2a > 0$
$14 > 2a$
$a < 7$

3. Произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = a^2 - a - 12 > 0$
Разложим на множители: $(a - 4)(a + 3) > 0$.
Это неравенство выполняется, когда $a < -3$ или $a > 4$. Таким образом, $a \in (-\infty; -3) \cup (4; \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств:
$\begin{cases} a \le \frac{61}{13} \\ a < 7 \\ a \in (-\infty; -3) \cup (4; \infty) \end{cases}$
Так как $\frac{61}{13} \approx 4.69$, то условие $a \le \frac{61}{13}$ является более строгим, чем $a < 7$. Таким образом, система сводится к: $\begin{cases} a \le \frac{61}{13} \\ a \in (-\infty; -3) \cup (4; \infty) \end{cases}$
Пересечение множества $(-\infty; \frac{61}{13}]$ с объединением $(-\infty; -3) \cup (4; \infty)$ дает:

• Для интервала $(-\infty; -3)$: все значения меньше $\frac{61}{13}$, поэтому интервал $(-\infty; -3)$ входит в решение.
• Для интервала $(4; \infty)$: ищем пересечение с $(-\infty; \frac{61}{13}]$, что дает интервал $(4; \frac{61}{13}]$.

Объединяя полученные результаты, получаем итоговое множество значений параметра $a$.

Ответ: $a \in (-\infty; -3) \cup (4; \frac{61}{13}]$.